[Risolto] Equazioni di Lagrange

1)

Scegliamo per comodità l'origine del sistema di riferimento in corrispondenza della massa m.

La massa può solo spostarsi orizzontalmente, tirata o spinta dalle due molle, dunque ha un solo grado di libertà.

La posizione della massa è dunque:

$s=(x , 0)$

e la sua velocità:

$ v = (\dot{x}, 0)$

di modulo $v = \dot{x}$.

Possiamo quindi scrivere l'energia cinetica:

$ T = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \dot{x}^2$

Per quanto riguarda l'energia potenziale, è solo di tipo elastico. Nota che se la molla di sinistra si comprime di $x$, allora la molla di destra si allunga di $x$ e viceversa. L'energia potenziale totale è dunque la somma dell'energia delle due molle:

$ U = \frac{1}{2} k_1 x^2 + \frac{1}{2} k_2 x^2 = \frac{1}{2}(k_1+k_2) x^2$

La Lagrangiana è quindi:

$ L = T-U$

$ L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2}(k_1+k_2) x^2$

Scriviamo ora l'unica equazione di Lagrange rispetto alla coordinata x.

Calcoliamo prima la derivata rispetto a $\dot{x}$:

$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{1}{2}m(2\dot{x}) = m\dot{x}$

e deriviamo ora rispetto al tempo:

$\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\ddot{x}$

Passiamo alla derivata rispetto a $x$:

$\frac{\partial L}{\partial x} = -(k_1+k_2)x$

Dunque l'equazione di Lagrange è:

$\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial L}{\partial x}$

$ m\ddot{x} = -(k_1+k_2)x$

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L'altro lo imposto solo, lascio a te fare i conti completi.

Le due masse hanno posizioni rispettivamente $(x_1,0)$ e $(L+x_2,0)$, dove $L$ è la lunghezza a riposo della molla, dunque abbiamo due gradi di libertà.

L'energia cinetica è data semplicemente da:

$ T = \frac{1}{2} m_1 \dot{x}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{x}_2^2$

Mentre l'energia potenziale è quella elastica, dove va tenuto conto che la compressione/allungamento della molla è pari a $x_2$, quindi:

$ U = \frac{1}{2}k x_2^2$

La Lagrangiana è dunque:

$ L = \frac{1}{2} m_1 \dot{x}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{x}_2^2 - \frac{1}{2}k x_2^2$

procedi con le derivate ed è fatta.

 

Noemi