Equazioni di III grado

Possiamo ridurre il grado del polinomio con la regola di Ruffini.

- 1 è una radice che annulla il polinomio.

P(-1) = - 1 + 4 - 5 + 2 = - 6 + 6 = 0;

Si divide per (x + 1);

P(x) = (x + 1) * (x^2 + 3x + 2).

- 2 e - 1  annullano  il trinomio di 2° grado;

x^2 + 3x + 2 = (x + 2) * (x + 1).

P(x) = (x + 1) * (x + 1) * (x + 2),

Soluzioni: - 1; - 1; - 2.

Ciao @aurora_lecchi

L'equazione #180 ha per radici gli zeri del polinomio a primo membro
* p(x) = x^3 + 4*x^2 + 5*x + 2
che è monico a coefficienti interi e, essendo di grado dispari, ha un numero dispari di zeri reali, uno o tre; se ne ha di razionali essi sono divisori interi del termine noto, cioè uno di
* {- 2, - 1, 1, 2}
se uno di questi valori azzera p(x) allora è radice dell'equazione e consente, applicando la Regola di Ruffini, di calare di uno il grado del quoziente ancora da scomporre.
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Le valutazioni si fanno (con due sole moltiplicazioni) nella forma
* p(x) = ((x + 4)*x + 5)*x + 2
ottenendo
* p(- 2) = 0
* p(- 1) = 0
* p(+ 1) = 12
* p(+ 2) = 36
Pertanto il quoziente ancora da scomporre è
* q(x) = (x^3 + 4*x^2 + 5*x + 2)/((x + 2)*(x + 1)) =
= (x^3 + 4*x^2 + 5*x + 2)/(x^2 + 3*x + 2) =
= x + 1
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L'equazione
* p(x) = x^3 + 4*x^2 + 5*x + 2 = (x + 2)*(x + 1)^2 = 0
ha
* una radice semplice per x = - 2
* una radice doppia per x = - 1