[Risolto] Analitica Nello spazio

{4x-3y=1

{x=4-3t

{z=t

Quindi:

4*(4-3t)-3y=1 —————> 16-12*t-3y=1

3y=15-12*t———->y=5-4t

Retta in forma parametrica:

{x=4-3t

{y=5-4t

{z=t

{piano x-y-z+8=0

Punti di intersezione:
(4-3t)-(5-4t)-t+8=0

7=0 IMPOSSIBLE 

Non ci sono intersezioni fra retta e piano.

Prendiamo un punto qualsiasi della retta e calcoliamo la distanza di esso dal piano. Tale distanza fornirà la distanza della retta stessa dal piano. Ad esempio ponendo t=0.

(4,5,0) è il punto

x-y-z+8=0 è il piano

d=|4-5+8|/sqrt(1^2+(-1)^2+(-1)^2)=7/sqrt(3)

d=razionalizzando=7*sqrt(3)/3

 

 

ti risolvo il primo punto. Poi voglio vedere cosa faresti per il secondo.

Allora, chiamiamo $z=t$ e scriviamo l'equazione parametrica della retta:

\begin{cases} x &= -3t+4 \\ y &= -4t+5 \\ z &= t \end{cases}

adesso sostituisci $x$, $y$ e $z$ nell'equazione del piano:

$x-y-z+8=0$

$-3t+4+4t-5-t+8=0$

come vedi i termini in $t$ si semplificano e ti resta

$7=0$

IMPOSSIBILE! quindi retta e piano non hanno punti a comune.

Per verificare che la retta
* r ≡ (4*x - 3*y - 1 = 0) & (x + 3*z - 4 = 0)
e il piano
* α ≡ x - y - z + 8 = 0
non abbiano intersezioni (non formino stella) occorre e basta che il sistema dei tre piani risulti incompatibile
* (4*x - 3*y = 1) & (x + 3*z = 4) & (x - y - z = - 8) ≡
≡ (x = 4 - 3*z) & (4*(4 - 3*z) - 3*y = 1) & (4 - 3*z - y - z = - 8) ≡
≡ (x = 4 - 3*z) & (y = 5 - 4*z) & (4 - 3*z - (5 - 4*z) - z = - 8) ≡
≡ (- 1 = - 8) & (x = 4 - 3*z) & (y = 5 - 4*z) ≡
≡ (falso) & (irrilevante) & (irrilevante) ≡
≡ sistema incompatibile ≡
≡ asserzione verificata
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La distanza |αr| fra piano e retta è la radice quadrata del minimo del quadrato della distanza fra i due punti cursore
* A(a + b - 8, a, b)
* c(4 - 3*c, 5 - 4*c, c)
* f(a, b, c) = |αr|^2 = |AR|^2 =
= 2*(a^2 + b^2 + 13*c^2) + 2*(a*b + 7*a*c + 2*b*c) - 2*(17*a + 12*b + 56*c) + 169 >=
>= f(0, 25/6, 11/6) = 49/3 ==> d = 7/sqrt(3)