Equazioni di Bernoulli.

Problema:

Si risolva la seguente equazione differenziale di Bernoulli:

$y'=2y+e^x \sqrt{y}$

Soluzione:

Come al solito l'obiettivo è ricondursi ad una tipologia di equazione differenziale nota, dunque converrebbe separare quanto possibile le $x$ e le $y$ anche grazie a delle sostituzioni.

Si nota subito ad occhio, basta sostituire, che $y=0$ è soluzione.

Per trovare le altre soluzioni è conveniente raccogliere $\sqrt{y}$.

$y'=\sqrt{y}(2\sqrt{y}+e^x)$

Suppendo $y \neq 0$

$\frac{y'}{\sqrt{y}}=2\sqrt{y}+e^x$

Ci si può dunque ricondurre ad una equazione lineare grazie alla sostituzione $z=\sqrt{y}, z²=y \to y'=2zz'$.

L'equazione è ora:

$\frac{2zz'}{z}=2z+e^x$

$2z'-2z-e^x=0 \to z'-z-\frac{e^x}{2}=0$, questa è una equazione differenziale lineare, dunque basta utilizzare la solita formula con il fattore di integrazione.

$z=e^{x} \int e^{-x} (-\frac{e^x}{2})dx=e^{x}(-\frac{x}{2}+c)=-\frac{e^xx}{2}+ce^{x}=e^x(-\frac{x}{2}+c)$

Sostituendo nuovamente $z=\sqrt{y}$ si ottiene quanto richiesto. 

$\sqrt{y}=-e^x(\frac{x}{2}+c)$

Le soluzioni sono dunque:

$y=\frac{e^{2x}}{4}(x+c)², y=0$

PS: grazie per postare esercizi sulle equazioni differenziali, svolgerli mi sta tornando molto utile per ripassare per l'esame di Elementi di Analisi Reale. 😉