Equazioni di Bernoulli.

y' = 4y + e^x y^2

y = 0 é una soluzione o, se y =/= 0,

y'/y^2 = 4/y + e^x

1/y = v

- v' = 4 v + e^x

v' + 4v = -e^x

v' e^(4x) + 4 e^(4x) v = -e^(5x)

d/dx (v e^(4x) ) = - e^(5x)

v e^(4x) = - e^(5x)/5 + C

v = - e^x/5 + C e^(-4x)

1/y = (- e^x + C e^(-4x))/5

y = 5/(- e^x + C e^(-4x)) = - 5 e^(4x)/(e^(5x) + C)

$ y' = 4y+e^xy^2 $

ODE non lineare del 1° ordine detta di Bernoulli.

1. Vale la soluzione banale y(x) = 0

Determiniamo le altre dividendo per y^2 i due membri

$ \frac{y'}{y^2} = 4\frac{1}{y} + e^x $ 

Poniamo $ z = \frac{1}{y} \; ⇒ \; z' = - \frac {y'}{y^2} $ 

sostituendo le variabili si ottiene

$ - z' = 4z +  e^x $     esprimiamola in forma normale

$ z' = -4z - e^x$        (1)

questa è una ODE lineare non omogenea del 1° ordine a coefficienti costanti. Cerchiamo la soluzione generale dell'omogenea associata e una soluzione particolare della non omogenea, per poi sommarle tra di loro.

• Omogenea associata. $ z' = - 4z $ La cui soluzione è $z = ce^{-4x} $
• Soluzione particolare $ \bar{z'} $

La cerchiamo tra le funzioni avente la forma

$ \bar{z}(x) = A\cdot e^x $      derivando

$ \bar{z}'(x) = A\cdot e^x $           sostituendo nella (1)

$Ae^x = -4Ae^x - e^x $         

$ A = -\frac{1}{5}$

La soluzione particolare è così

$ \bar{z}(x) = -\frac{e^x}{5} $

La soluzione generale dell'equazione in z è 

$z(x) = ce^{-4x} - \frac{e^x}{5} = \frac{ce^{-4x}-e^x} {5} = $

nota: una costante generica moltiplicata 5 rimane una costante generica

Ritorniamo alla variabile in y. Si hanno come soluzioni

1. $y(x) = 0$
2. $y(x) = \frac{1}{z(x)} = \frac{5}{\frac{c}{e^{4x}} - e^x} = \frac{5e^{4x}}{c -e^{5x}} = -\frac{5e^{4x}}{c + e^{5x}}$ 

nota: una costante generica moltiplicata per -1 rimane una costante generica