Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
$ x \cdot y$"$ = 3x - y' $ con x > 0
Poniamo z = y'
$ xz' = -z + 3x $ Riduciamola in forma normale
$ z' + \frac{1}{x} z = 3 $
Equazione differenziale ordinaria a coefficienti variabili. Usiamo la tecnica del fattore integrante
Calcoliamo A(x) una primitiva della funzione a(x) = \frac{1}{x}.
$ A(x) = ln(x) $
applichiamo la formula
$ z(x) = c_1 e^{-A(x)} + e^{-A(x)} \int e^{A(x)} \cdot b(x) \, dx $
$ z(x) = c_1 e^{-ln(x)} + e^{-ln(x)} \int e^{ln(x)} \cdot 3 \, dx $
$ z(x) = c_1 \frac{1}{x} + \frac{3}{2} x $
Ritorniamo alla variabile originaria
$ y(x) = \int z(x) \, dx $
$ y(x) = \int (c_1 \frac{1}{x} + \frac{3}{2} x) \, dx $
$ y(x) = c_1 ln(x)+ c_2 + \frac{3}{4} x^2 $
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Livello 6