equazioni con valori assoluti

x/(x+1) é positivo o nullo per x <-1 V x >= 0 e negativo per -1 < x < 0

Hai quindi i due sistemi

I

{ x < -1 v x >= 0

{ x/(x+1) = -1/(x^2-1) + 1/(x - 1)

x(x - 1) = -1 + x + 1      ( x =/= 1)

x^2 - 2x = 0

x = 0 V x = 2   entrambe accettabili

II

{ - 1 < x < 0

{ -x/(x + 1) = - 1/(x^2 - 1) + 1/(x - 1)

-x(x -1) = -1 + x + 1

x + x^2 - x = 0

x^2 = 0 => x = 0 ( non accettabile in questo intervallo ma accettabile nell'altro )

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx%2F%281%2Bx%29%7C+%3D+1%2F%281-x%5E2%29+%2B1%2F%28x-1%29

tieni presente che i link fatti da sosmatematica non funzionano ...

vengono tolti i segni +   ...  quindi correggi  (vale la scritta in grigio!)

|x/(1 + x)| = 1/(1 - x^2) + 1/(x - 1) ---> |x/(1 + x)| = 1/((1 - x)(1+x)) + 1/(x - 1)  ---> |x/(1 + x)| = (1/(1+x)-1 )/(1 -x) ---> |x/(1 + x)| = (1-1-x )/((1+x)(1 -x)) ---> |x/(1 + x)| = x/((1+x)(x -1)) ---> |x/(1 + x)| = x/(x² -1))

sono da escludere x = ± 1  che annullando il denominatore fanno perdere di significato alla relazione.

poi senz'altro il secondo membro è non negativo se [x≥0 e x²-1 >0 ] oppure [x  ≤ 0 e x²-1 <0 ]

risolvendo con queste limitazioni ...

(x/(1 + x)) = x/((1+x)(x -1))   ---> con x diverso da zero--->  1 =1/(x -1)  ---> x =2

ora sia 0 che 2 soddisfano la relazione di partenza e le citate limitazioni.

ABS(x/(1 + x)) = 1/(1 - x^2) + 1/(x - 1)

il modulo si libera:

{ABS(x/(1 + x)) = x/(1 + x)

{x/(1 + x) ≥ 0

oppure

{ABS(x/(1 + x)) = - x/(1 + x)

{x/(1 + x) < 0

Quindi nella sostanza devi risolvere due sistemi (che rappresentano due possibilità):

SISTEMA 1

{x/(1 + x) = 1/(1 - x^2) + 1/(x - 1)

{x/(1 + x) ≥ 0

SISTEMA 2

{- x/(1 + x) = 1/(1 - x^2) + 1/(x - 1)

{x/(1 + x) < 0

Una volta risolto i due sistemi, bisogna UNIRE le due soluzioni.

Quindi, per quanto riguarda il primo sistema (i calcoli li puoi fare tu) hai:

{x = 2 ∨ x = 0 ACCETTABILI perché compatibili con la condizione posta sotto

{x < -1 ∨ x ≥ 0

Per il secondo sistema hai:

{x = 0 NON ACCETTABILE

{-1 < x < 0

Quindi la soluzione della equazione in modulo è data da: x = 2 ∨ x = 0