Equazioni con valore assoluto di secondo grado

EX. 381

(ABS(x^2 + x) - 3)/(x^2 + x) = 0

x^2 + x ≠ 0----------> x ≠ -1 ∧ x ≠ 0

quindi, riportando alla forma intera:

ABS(x^2 + x) - 3 = 0

NOTA: le equazioni fratte si riportano alla forma intera precisando le C.E. che sono quelle riportate sopra.

Quindi si libera il modulo con 2 possibilità:

1^ possibilità

{ABS(x^2 + x) = x^2 + x

{x^2 + x > 0

quindi se: x < -1 ∨ x > 0

2^ possibilità

{ABS(x^2 + x) = - (x^2 + x)

{-1 < x < 0

Risolviamo quindi il 1° sistema:

{(x^2 + x) - 3 = 0

{x < -1 ∨ x > 0

L'equazione fornisce:    x = - (√13 + 1)/2 ∨ x = (√13 - 1)/2

(accettabili entrambe)

------------------------

Per il secondo sistema, l'equazione è impossibile:

- (x^2 + x) - 3 = 0-----> x^2 + x + 3 = 0 con Δ = -11 < 0

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Ex. 382 prova un po' tu a risolverlo!

(x - 2)/ABS(2·x^2 + x - 1) + (x + 2)/(2·x^2 + x - 1) = 1/(x + 1)

Porto alla forma intera prima con le C.E.
2·x^2 + x - 1 = (x + 1)·(2·x - 1) ≠ 0

x ≠ 1/2 ∧ x ≠ -1

Se risulta: 

ABS(2·x^2 + x - 1) = 2·x^2 + x - 1 quindi se 2·x^2 + x - 1 > 0 ossia

x < -1 ∨ x > 1/2

si ha:

(x - 2) + (x + 2) = 2·x - 1-----> 2·x = 2·x - 1 IMPOSSIBILE!

Altra possibilità:

ABS(2·x^2 + x - 1) = - (2·x^2 + x - 1) se 2·x^2 + x - 1 < 0---> -1 < x < 1/2

quindi:

- (x - 2) + (x + 2) = 2·x - 1----> 4 = 2·x - 1----> x = 5/2 NON ACCETTABILE!

Quindi l'equazione proposta è  IMPOSSIBILE

 

 

 

 

IL METODO RISOLUTIVO DELLE EQUAZIONI FRATTE CON MODULI
è la composizione dei due metodi risolutivi di quelle fratte e di quelle con moduli.
E' anche utile aver presente che, per valori reali di x, valgono le eguaglianze
* |x| = √(x^2) = ± x
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A) Per ogni funzione fratta
* f(x) = N(x)/D(x)
definita per D(x) != 0, vale l'equivalenza
* f(x) = 0 ≡ (N(x) = 0) & (D(x) != 0)
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381) (|x^2 + x| - 3)/(x^2 + x) = 0 ≡
≡ (|x^2 + x| - 3 = 0) & (x^2 + x != 0) ≡
≡ (|x^2 + x| = 3) & (x != - 1) & (x != 0)
---------------
382) (x - 2)/(|2*x^2 + x - 1|) + (x + 2)/(2*x^2 + x - 1) = 1/(x + 1) ≡
≡ (x - 2)/(|2*x^2 + x - 1|) - (x - 3)/(2*x^2 + x - 1) = 0 ≡
≡ (x - 2)/(|2*x^2 + x - 1|) = (x - 3)/(2*x^2 + x - 1) ≡
≡ ((x - 2)*(2*x^2 + x - 1) = (x - 3)*(|2*x^2 + x - 1|)) & (2*x^2 + x - 1 != 0)
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B) Eliminare un modulo da un'equazione vuol dire sdoppiarla in due altre di cui l'originale rappresentava l'unione.
Se il modulo si isola a primo membro
* |a| = b ≡ (a = - b) oppure (a = + b)
Se il modulo non si isola (o se isolarlo appesantirebbe i calcoli)
* f(|c|) = d ≡ (f(c) = d) & (c >= 0) oppure (f(- c) = d) & (c < 0)
Le equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta.
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381) (|x^2 + x| = 3) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ ((x^2 + x = - 3) oppure (x^2 + x = + 3)) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ (x^2 + x + 3 = 0) & (x != - 1) & (x != 0) oppure (x^2 + x - 3 = 0) & (x != - 1) & (x != 0) ≡
≡ x = (- 1 ± i*√11)/2 oppure x = (- 1 ± i*√13)/2
---------------
382) ((x - 2)*(2*x^2 + x - 1) = (x - 3)*(|2*x^2 + x - 1|)) & (2*x^2 + x - 1 != 0)
Questo conviene trattarlo un pezzo per volta.
--------
* 2*x^2 + x - 1 != 0 ≡
≡ 2*(x + 1)*(x - 1/2) != 0 ≡
≡ (x != - 1) & (x != 1/2)
--------
Con
* c = 2*x^2 + x - 1
* d = (x - 2)*(2*x^2 + x - 1)
si scrive
* f(|c|) = (x - 3)*(|2*x^2 + x - 1|)
* f(+ c) = + (x - 3)*(2*x^2 + x - 1) = + 2*(x + 1)*(x - 1/2)*(x - 3)
* f(- c) = - (x - 3)*(2*x^2 + x - 1) = - 2*(x + 1)*(x - 1/2)*(x - 3)
--------
* f(|c|) = d ≡
≡ (f(c) = d) & (c >= 0) oppure (f(- c) = d) & (c < 0) ≡
≡ (2*(x + 1)*(x - 1/2)*(x - 3) = (x - 2)*(2*x^2 + x - 1)) & (2*x^2 + x - 1 >= 0)
oppure
(- 2*(x + 1)*(x - 1/2)*(x - 3) = (x - 2)*(2*x^2 + x - 1)) & (2*x^2 + x - 1 < 0) ≡
≡ ((x = - 1) oppure (x = 1/2)) & ((x <= - 1) oppure (x >= 1/2))
oppure
((x = - 1) oppure (x = 1/2) oppure (x = 5/2)) & (- 1 < x < 1/2) ≡
≡ (x <= - 1) oppure (x >= 1/2) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ (x <= - 1) oppure (x >= 1/2)
--------
Rimontando i pezzi si ottiene
* ((x - 2)*(2*x^2 + x - 1) = (x - 3)*(|2*x^2 + x - 1|)) & (2*x^2 + x - 1 != 0) ≡
≡ (x <= - 1) oppure (x >= 1/2) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ ((x <= - 1) oppure (x >= 1/2)) & (x != - 1) & (x != 1/2) ≡
≡ (insieme vuoto) ≡
≡ l'equazione 382 è priva di radici reali.
CONTROPROVA nel paragrafo "Result" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=solve%28x-2%29%2F%28%7C2*x%5E2--x-1%7C%29--%28x--2%29%2F%282*x%5E2--x-1%29-1%2F%28x--1%29%3D0+for+x+real