Equazione numeri complessi

Problema:

Risolvere la seguente equazione in $\mathbb{C}$.

$x^4+6t^2+25=0$

Soluzione:

Si pone $t=x^2$ per ricondursi ad un'equazione di secondo grado.

$t^2+6t+25=0$

Utilizzando la formula risolutiva si ottiene:

$\frac{\Delta}{4}=9-25=-16$

$t_{1,2}=-3\pm \sqrt{-16}$

Poiché $\sqrt{-16}=4i$, si ha che $t_{1,2}=-3\pm 4i$.

Sostituendo nuovamente $t=x^2$:

$x^2=-3 \pm 4i$

$x_{1,2}=\pm \sqrt{-3 \pm 4i}$

Le radici del polinomio associato all'equazione di partenza sono $4$ in accordo con il corollario del teorema fondamentale dell'Algebra.

Volendo puoi riscriverla in forma goniometrica...

x^4 + 6·x^2 + 25 = 0

pongo:

x^2 = t

Risolvo:

t^2 + 6·t + 25 = 0

Δ/4 = 3^2 - 25----> Δ/4 = -16

t1 = -3 - √(-16)---> t1 = -3 - 4·i

t2 = -3 + √(-16)-----> t2 = -3 + 4·i

x^2 = -3 - 4·i

x = -1 + 2·i ∨ x = 1 - 2·i

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Spiegazione:

(α + i·β)^2 = -3 - 4·i

α^2 - β^2 + 2·i·α·β = -3 - 4·i

{α^2 - β^2 = -3

{2·α·β = -4

risolvo in ambito reale:

[α = 1 ∧ β = -2, α = -1 ∧ β = 2]

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x^2 = -3 + 4·i

x = -1 - 2·i ∨ x = 1 + 2·i

(vedi spiegazione precedente)

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Quindi le 4 radici complesse:

x = -1 - 2·i ∨ x = -1 + 2·i ∨ x = 1 - 2·i ∨ x = 1 + 2·i

equazione quadratica; quattro soluzioni;

x^4 + 6x^2 + 25 = 0;

x^2 = y;

y^2 + 3y + 25 = 0;

y = - 3 +- radice quadrata(9 - 25);

∆ = 9 - 25 = - 16 < 0;  l'equazione non ha soluzione reale, non si annulla.

ha soluzione in campo complesso;

 radice quadrata(- 1) = i; unità immaginaria;

radice(- 25) = radice[16 * (- 1)] = 4 i;

y = - 3 +- 4i;

y1 = - 3 + 4i;

y2 = - 3 - 4i;

y = x^2;

x = +- radice(y);

x1 = + radice(- 3 + 4i);

x2 = - radice(- 3 + 4i);

x3 = + radice(- 3 - 4i);

x4 = - radice(- 3 - 4i);

un numero complesso al quadrato: i^2 = -1

(a + ib)^2 = a^2 + 2aib + (ib)^2 = a^2 - b^2 + 2aib ;

a^2 - b^2 + 2aib = - 3 - 4i;

a^2 - b^2 = - 3; 

2aib = - 4i;  (1)

2ab = - 4;   (2)