Buona sera nuovamente a tutti; allego file contenente testo equazione logaritmica n. 585 che ho provato a risolvere ponendo log2 x = t e log1/2 x = - t. Poi ho portato il secondo radicale nel secondo membro, li ho elevati entrambi al quadrato e poi un'altra volta per eliminare le radici; ottengo due valori di t ; 1 e 5. Il primo è corretto, perché il testo me lo dà come unica radice, ma il secondo no. Qualcuno vuole e può dirmi cosa sbaglio? Grazie a tutti come sempre. La risposta é x = 2
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Livello 1
Ciao Beppe,
Ecco una possibile soluzione.
Insieme di definizione in R: 2 <= x <= 32
Quindi x=2 può essere l'unica soluzione possibile.
Verifica:
radice (4) - 0 = 2 ==> 2 = 2 ok
Non studiare troppo.
Buona serata.
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Genius II
Il primo è corretto, perché il testo me lo dà come unica radice, ma il secondo no. Qualcuno vuole e può dirmi cosa sbaglio?
Chiaro: quando elevi al quadrato una equazione può portare a soluzioni estranee alla stessa.
Quindi devi fare prima una verifica dell'equazione irrazionale in t prima di accettare il risultato ottenuto.
C.E. x > 0
Cambio base:
√(- LN(x)/LN(2) + 5) - √(LN(x)/LN(2) - 1) = 2
Pongo: LN(x)/LN(2) = t
quindi passo all'equazione:
√(5 - t) = 2 + √(t - 1)
5 - t = (2 + √(t - 1))^2 (primo elevamento)
5 - t = 4·√(t - 1) + t + 3
4·√(t - 1) = 2·(1 - t)
2·√(t - 1) = 1 - t
4·t - 4 = (1 - t)^2 (secondo elevamento)
4·t - 4 = t^2 - 2·t + 1-----> t^2 - 6·t + 5 = 0-----> (t - 1)·(t - 5) = 0
quindi: t = 5 ∨ t = 1
per t=5 hai: 0 = 4 il che porta ad un'uguaglianza assurda! Quindi t=5 radice estranea
per t=1 hai : 2= 2 OK!
Quindi x=2 è l'unica radice accettabile
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Genius II
Come già ti scrissi tempo addietro se in una risoluzione c'è anche una sola quadratura che possa introdurre spurie ogni radice del risultato finale dev'essere filtrata attraverso la verifica che soddisfaccia all'equazione originale.
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* log(1/2, x) = - log(2, x)
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Prima quadratura
* (√(log(1/2, x) + 5) - √(log(2, x) - 1))^2 = (2)^2 ≡
≡ 5 - log(2, x) + log(2, x) - 1 - 2*√((5 - log(2, x))*(log(2, x) - 1)) = 4 ≡
≡ 4 - 2*√((5 - log(2, x))*(log(2, x) - 1)) = 4 ≡
≡ √((5 - log(2, x))*(log(2, x) - 1)) = 0 ≡
---------------
Seconda quadratura
* (√((5 - log(2, x))*(log(2, x) - 1))^2 = (0)^2 ≡
≡ (5 - log(2, x))*(log(2, x) - 1) = 0 ≡
≡ (log(2, x) = 5) oppure (log(2, x) = 1) ≡
≡ (2^log(2, x) = 2^5) oppure (2^log(2, x) = 2^1) ≡
≡ (x = 32) oppure (x = 2)
---------------
Verifica
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* √(log(1/2, 32) + 5) - √(log(2, 32) - 1) =
= √(0) - √(4) = - 2 != 2 ≡ radice spuria
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* √(log(1/2, 2) + 5) - √(log(2, 2) - 1) =
= √(4) - √(0) = 2 ≡ radice vera
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Genius I
