Buona domenica a tutti; allego 2 files contenenti il testo dell'equazione logaritmica n. 545 (l'ultima della pagina 607) che ha come risultati x= 4/3 oppure x = 10 e il mio tentativo di svolgerla non andato a buon fine. Ringrazio sin d'ora chi vorrà aiutarmi per risolverla e, se possibile, farmi notare dove sbaglio, di modo che mi renda conto dov'è l'errore/i. Attendo una vostra risposta.
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Livello 1
Ciao Beppe,
L'errore è quando fai il cambio di variabile.
Se:
[log3(x-1)] = t
allora:
[log3(9*(x-1))] ≠ 9t
9*log3(x-1) = 9t
Hai svolto tutto correttamente. Dovevi fare il cambio di variabile il passaggio prima. Quindi:
t² = 2 + t
Un possibile svolgimento è il seguente.
Insieme di definizione in R:
x>1
Ricordando che:
2= log3 [(3)²]
-1 = log3 [(3)^( - 1)]
Buona giornata.
Stefano.
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Genius II
Ricordiamo che log_9 w = log w/log 9 = log w/(log 3^2) = log w/(2 log 3) =
= 1/2 log w/log 3 = 1/2 log_3 w
Per cui, con x > 1,
[log_3 (x-1)]^2 = 2 + 2*1/2 log_3 (x-1)
e posto log_3 (x-1) = c
c^2 = 2 + c
c^2 - c - 2 = 0
c^2 - 2c + c - 2 = 0
c(c-2) + (c-2) = 0
(c-2) (c+1) = 0
c = -1 V c = 2
c = log_3 (x-1) => x - 1 = 3^c => x = 1 + 3^c
una radice sarà allora
x1 = 1 + 3^(-1) = 1 + 1/3 = 4/3
e l'altra
x2 = 1 + 3^2 = 1 + 9 = 10
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Livello 7
Ti sei dimenticato un "2" nel testo. Riguarda.
(log in base 3) ^2 (x - 1) = 2 + 2 * (log in base 9) (x - 1);
Per passare da base 9 a base 3:
(log in base 9) di c = (log in base 3) di c / [(log in base 3) di 9] = [(log in base 3) di c] / 2;
(log in base 3) ^2 (x - 1) = 2 + 2 * [(log in base 3) (x - 1)] / 2;
t = (log in base 3) (x - 1)
t^2 = 2 + t ;
t^2 - t - 2 = 0;
t = [1 +-radice(1 + 8)] / 2;
t = [1 +- radice (9)]/2;
t1 = [1 + 3] / 2 = 2;
t2 = [1 - 3] / 2 = - 1;
(log in base 3) (x - 1) = 2;
3^2 = x - 1;
x - 1 = 9;
x = 10; prima soluzione.
3^-1 = x - 1;
x - 1 = 1/3 ;
x = 1/3 + 1 = 4/3; (seconda soluzione).
@beppe ciao.
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Genius II
Ci sono due cose che t'ho segnalati più volte, invitandoti a inserirle nel memorandum da mettere attaccato al muro vicino al dove stai tu.
1) Nel dubbio se una coppia di parentesi in più serva o no, mettila!
2) log(b^n, x) = log(b, x)/n
Applicandole a questo caso, si scrive
545) (log(3, x - 1))^2 = 2 + 2*log(9, x - 1) ≡
≡ (log(3, x - 1))^2 = 2 + 2*log(3^2, x - 1) ≡
≡ (log(3, x - 1))^2 = 2 + 2*log(3, x - 1)/2 ≡
≡ (log(3, x - 1))^2 - (log(3, x - 1)) - 2 = 0 ≡
≡ u^2 - u - 2 = 0 ≡
≡ (u = - 1) oppure (u = 2) ≡
≡ (log(3, x - 1) = - 1) oppure (log(3, x - 1) = 2) ≡
≡ (ln(x - 1) = - ln(3)) oppure (3^log(3, x - 1) = 3^2) ≡
≡ (ln(x - 1) = ln(1/3)) oppure (x - 1 = 3^2) ≡
≡ (x - 1 = 1/3) oppure (x - 1 = 9) ≡
≡ (x = 4/3) oppure (x = 10)
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I tuoi passaggi non riesco a seguirli, ho problemi coi manoscritti.
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Genius I
