Equazione logaritmica n. 503

P.S. Forse ho sbagliato nel secondo membro a non aver applicato il I' teorema sui logaritmi che dice : il logaritmo in una data base del prodotto di due o più numeri é uguale alla somma dei logaritmi , nella stessa base, dei singoli fattori? Cioè , nel secondo membro ci sarebbe dovuto essere log2 4*sqrt x invece di log2 4 + log2 sqrt x . Il risultato finale allora dovrebbe essere 1/2 che non è accettabile perché rende negativo l'argomento del primo membro dell'equazione. 

@beppe

Ciao Beppe.

Ho visto i tuoi calcoli. L'errore è quello che hai indicato nel tuo commento.

Quindi:

radice (2x-7) = 4*radice (x) 

Buona giornata.

Stefano 

@StefanoPescetto
Ma perché mai la dichiari inaccettabile? Soddisfà all'equazione originale senza scrivere "+ i*π" nemmeno una volta! Che altro vorresti per accettarla?

@exprof

Ciao, la mia conclusione deriva dal fatto che risolvendo le equazioni con i logaritmi , ho sempre posto le condizioni (come leggo anche su molti testi o esempi svolti) 

1) base del logaritmo maggiore di zero e diversa da 1 

2) argomento del logaritmo maggiore di zero, quindi 2x-7>0

Es:

https://www.youmath.it/forum/espressioni-polinomi-equazioni-disequazioni-algebra/52157-semplice-equazione-logaritmica-in-base-2.html  

Il che non vuol dire che io abbia ragione. ANZI, non avendo 40 anni di insegnamento alle spalle e non vedendo logaritmi da 20 abbondanti, sono sicuro che la risposta corretta sia la tua. Ti ho semplicemente voluto spiegare il motivo della mia risposta. Buona serata 

@StefanoPescetto
Scusami se pignoleggio, ma tengo a motivare le mie convinzioni.
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In completo disaccordo con buona parte dei pessimi libri di testo italiani (Grazie Berlinguer, Moratti, Gelmini, ... che belle direttive avete scritto!) che ingannano gli alunni io sostengo che la condizione di esistenza del logaritmo naturale di variabile reale [ln(u)] NON E AFFATTO "u > 0", ma solo "u != 0".
Mi conforta in tale convinzione il parere di Eulero che, condividendola, scoprì (~ 1748) quella che chiamò "formula del Diavolo": e^(i*π) = - 1, da cui ln(- 1) = i*π.
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Grazie a questa formula e alle solite proprietà del logaritmo si calcolano i logaritmi, in qualsiasi base b diversa da zero e uno, di qualsiasi argomento a diverso da zero
* log(b, a) = ln(a)/ln(b)
Per a < 0: log(b, a) = ln((- 1)*|a|)/ln(b) = (ln(|a|) + i*π)/ln(b)
Per b < 0: log(b, a) = ln(a)/ln((- 1)*|b|) = ln(a)/(ln(|b|) + i*π)
Per (a < 0) & (b < 0): log(b, a) = (ln(|a|) + i*π)/(ln(|b|) + i*π)
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Quindi l'insieme di definizione di "log(b, a)" è semplicemente "(a*b != 0) & (b != 1)".
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E' solo quando occorre che la funzione logaritmo abbia valori reali (p.es. nelle disequazioni con diseguaglianza d'ordine) che ci si deve limitare all'insieme di definizione reale: (a > 0) & (b > 0) & (b != 1).
Però nulla impedisce a un'equazione d'essere soddisfatta con valori negativi della variabile.

@StefanoPescetto
Ti rispondo con un commento e non con un messaggio privato per una mia idiosincrasia (scrivere un messaggio privato mi rammenta eventi degli anni 60, tanto sgradevoli da tornarmi in mente ancora oggi.) che me li fa evitare se appena è possibile.
Tu dici "Ho capito parzialmente la tua obiezione." e articoli tale parzialità su tre punti ai quali rivolgere la mia attenzione (a anche quelle di @Beppe @EidosM @LucianoP se vogliono).
UNO
«è sbagliato dire che non esistono soluzioni in R?» direi di sì, soprattutto dopo averne appena calcolata una.
DUE
«La funzione logaritmo non restituisce quel numero x/ base^x = argomento?» direi di sì, ovviamente: per definizione [log(b, a) = x ≡ (a = b^x) & (ln(b) != 0)].
DUE bis
«In R nessun numero elevato ad x fornisce come risultato un numero negativo.» Vero e, se è per questo, nemmeno in C (credo). MA QUESTO CHE C'ENTRA con l'affermazione che «nulla impedisce a un'equazione d'essere soddisfatta con valori negativi della variabile»?
TRE
«Nel nostro caso x= - 1/2 rende l'equazione di partenza un'identità. Quindi è soluzione. Corretto. Non ho capito in che insieme.»
Qui sono io che ho capito parzialmente la tua catena di affermazioni.
"x= - 1/2 rende l'equazione di partenza un'identità" quindi riducibile a "0 = 0".
"Quindi è soluzione" cioè "- 1/2" è radice dell'equazione di partenza.
"Corretto" direi di sì, per entrambe le precedenti.
"Non ho capito in che insieme" e questa non l'ho capita io: se intendi cosa diversa da ciò che segue ci tocca proseguire la discussione (per commenti e non per messaggi, ti prego).
A prima botta direi "In ogni insieme che contiene - 1/2": Z, Q, R, C.
Infatti: (ln: Z\{0} → C), (ln: Q\{0} → C), (ln: R\{0} → C), (ln: C\{0} → C).
Anche perché, assodato che "0 = 0", lo zero è elemento di ogni insieme più ricco di N.
Inoltre la mia risposta
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/65811/
mostra che la radice "- 1/2" si calcola con sole manipolazioni simboliche di equivalenza algebrica fra equazioni senza la minima necessità di riferirsi al significato dei simboli manipolati.
Che durante le riscritture rappresentassero numeri reali o numeri complessi o scatole da scarpe o milze alla salernitana è irrilevante: le equivalenze restano comunque valide in quanto si basano su proprietà formali.
Se sono lecite le seguenti operazioni allora gli "≡" sono validi e così la risposta a prima botta.
* Raddoppiare mam (membro a membro) l'equazione.
* 4 = log(2, 16).
* log(2, 16) + log(2, x) = log(2, 16*x).
* Moltiplicare mam per ln(2) != 0.
* Esponenziare mam.
* Risolvere un'equazione lineare.

@EidosM @LucianoP
Vos quoque! Insieme @StefanoPescetto mi mettete in minoranza: ma, se non lo è la microbiologia di Burioni, nemmeno le definizioni matematiche sono democratiche.
Io ho sempre trattato i miei alunni, anche i piccoli di 15/16 anni, come adulti segnalando le stupidaggini dei libri di testo e invitandoli a non farsene bloccare: a maggior ragione penso che @Beppe (che un adulto lo è davvero), nel suo sforzo di autodidatta di ritorno, abbia diritto a un trattamento da adulto e pensare ai logaritmi per come sono nei libri universitari senza le assurde castrazioni concettuali di quelli liceali.
Ogni funzione logaritmo si può ridurre al logaritmo neperiano e quest'ultimo ha per dominio quasi l'intero piano di Argand-Gauss tranne l'origine e per codominio tutto il piano; anche applicando condizioni restrittive sull'insieme di definizione limitandosi a considerare logaritmi con base e argomento reali il codominio rimane ancora tutto il piano di Argand-Gauss. Il fatto che l'insieme immagine possa essere un sottinsieme privilegiato del dominio [(x in N) & (ln(x) in R)] dipende dalla restrizione posta sull'insieme di definizione e non costituisce una restrizione sull'insieme immagine: del resto basta attenuare di poco la restrizione [(x in Z\{0}) & (ln(x) in C)] per tornare ai complessi.
Scrivo questo commento ben sapendo d'apparire un rompiscatole come (non tanto sommessa) obiezione alla conclusione delle vostre risposte.
EidosM conclude con «x = -7/14 = -1/2 inaccettabile perché negativa | Non ci sono soluzioni reali.» come
aveva fatto StefanoPescetto, e io dico che così confonde Beppe negando che un'equazione possa essere soddisfatta da una sua radice; e su ciò ho già commentato
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/65810/
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/65827/
LucianoP conclude con «2·x - 7 = 16·x-----> x = - 1/2 NON ACCETTABILE | EQUAZIONE LOGARITMICA IMPOSSIBILE (nell'ambito dei numeri reali) | Verificato con WOLFRAMALPHA:» e se con la prima riga s'associa a StefanoPescetto ed EidosM, con le altre due cade in un equivoco e rischia di trascinarci anche Beppe che preferisce le sue risposte alle mie (in tutti questi mesi ha sempre commentato bene le sue).
L'equivoco sta nelle capacità interpretative di WolframAlpha.
Il comando informale
* "(1/2)*log(2,2*x-7)=2+(1/2)*log(2,x)"
si interpreta come
* "Reduce[Log[-7 + 2 x]/Log[4] == Log[16 x]/Log[4], x, Reals]"
e produce
* "x = -1/2 (assuming a complex-valued logarithm)".
Il comando informale
* "(1/2)*log(2,2*x-7)=2+(1/2)*log(2,x) for x real"
si interpreta come
* "Reduce[Log[-7 + 2 x]/(2 Log[2]) == 2 + Log[x]/(2 Log[2]), {x}, Reals]"
e produce
* "(no real solutions)" perché quella coppia di graffe PONE UNA RESTRIZIONE SULL'INSIEME IMMAGINE.
Avendovi annoiato oltre la sufficienza, spero d'aver almeno chiarito i motivi del mio intestardirmi a voler dare a Beppe un'informazione non limitata. Grazie della pazienza, se siete arrivati qui.