Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] Equazione Letterale di secondo grado.

  

0

Ciao!

Ho questa equazione e vorrei chiedervi se procedo bene:

$(a^2+b^2)x=(b^2-a^2)ab-x^2$

Riscritta in forma normale:

$x^2+(a^2+b^2)-ab(b^2-a^2)=0$

Il coefficiente di x^2 non dipende da alcun parametro. Il coefficiente di x  si annulla per a=0 e b=0. Il termine noto si annulla per a=0 oppure b=0.

 

Fino a qui concludo che:

Se $a=0 \land b=0$ allora le soluzioni sono coincidenti: $x1=x2=0$

Se $a\neq0 \land b=0$ allora le soluzioni sono distinte: $x=0 \lor x=-b^2$

Se $a=0 \land b\neq0$ allora le soluzioni sono distinte: $x=0 \lor x=-a^2$

Se $a=b$ le soluzioni sono distinte : $x=0 \lor x=-2b^2$

A questo punto se $a\neq0 \land b\neq0$ l'equazione è completa e le soluzioni dipenderanno dal $\Delta$, che in questo caso è: $(a^2-2ab-b^2)^2$, il quale è sempre positivo e si annulla per:

$a=(1\pm\sqrt{2})b$

Dunque se $a=(1 \pm \sqrt{2})b$ allora le soluzioni sono coincidenti: $x1=x2=-b^2(2\pm\sqrt{2})$

Se $a\neq(1\pm\sqrt{2})b$ le soluzioni saranno distinte: $x1=a(b-a)$, $x2=-b(b+a)$

Autore
1 Risposta
1

NON CE LA FACCIO NE' A LAVORARE CON DUE FINESTRE (il mio editor e la tua domanda)
NE' A RIBATTERE nel mio editor tutte le diciotto composizioni in LaTeχ della tua domanda e pertanto, non riuscendo a rispondere alla lettera di ciò che chiedi, rilancio con una controfferta: io ti mostro il mio modo di condurre la discussione e poi vedi da te di estrarne la risposta puntuale al quesito "procedo bene?".
Aggiungo di mio solo l'ipotesi esplicita che {a, b, x} siano reali tutt'e tre.
==============================
La famiglia biparametrica di equazioni
* (a^2 + b^2)*x = (b^2 - a^2)*a*b - x^2 ≡
≡ x^2 + (a^2 + b^2)*x - (b^2 - a^2)*a*b = 0 ≡
≡ x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
dove
* s = - (a^2 + b^2)
* p = - (b^2 - a^2)*a*b
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto).
Se Δ >= 0 gli zeri sono reali e vale X1 <= X2.
Gli zeri X1 e X2 sono distinti se il discriminante Δ è non nullo:
* complessi coniugati se Δ < 0
* reali se Δ > 0.
------------------------------
NEL CASO IN ESAME
* Δ = s^2 − 4*p = ((a - b)^2 - 2*b^2)^2 >= 0
quindi, nel piano Oab:
1) non ci sono punti per cui Δ < 0;
2) si ha Δ = 0 solo sull'iperbole degenere "Γ ≡ b = (- 1 ± √2)*a";
3) si ha Δ > 0 quasi ovunque, esclusi i punti di Γ.
---------------
Di conseguenza, sull'asse reale x, le equazioni della famiglia hanno
2') una radice doppia se i parametri sono sui punti di Γ
* X = s/2 = - (2 ± √2)*a^2
3') due radici distinte se i parametri sono altrove
* X1 = (s - √Δ)/2 = - a*(a - b)
* X2 = (s + √Δ)/2 = - b*(a + b)






Scarica la nostra App Ufficiale

SOS Matematica

GRATIS
VISUALIZZA