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EQUAZIONE IPERBOLE

  

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Scrivi l'equazione dell'iperbole avente i vertici nei punti di coordinate ( $\pm 1,0$ ), che individua sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante un segmento di misura $4 \sqrt{2}$.
$$
\left[4 x^2-3 y^2=4\right]
$$

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x^2/α - y^2/β = 1

è l'iperbole.

[-1, 0] è uno dei due vertici:

(-1)^2/α - 0^2/β = 1----->α = 1

Quindi intersezioni dell'iperbole con la bisettrice:

{x^2 - y^2/β = 1

{y = x

Risolvo ed ottengo: 

[x = √β/√(β - 1) ∧ y = √β/√(β - 1) , x = - √β/√(β - 1) ∧ y = - √β/√(β - 1) ]

Si conosce la distanza fra questi due punti d = 4·√2 quindi:

d = √((√β/√(β - 1) + √β/√(β - 1))^2 + (√β/√(β - 1) + √β/√(β - 1))^2)

d = √((2·√β/√(β - 1))^2 + (2·√β/√(β - 1))^2)

d = √(4·β/(β - 1) + 4·β/(β - 1))

d = √(8·β/(β - 1)) = 2·√2·√(β/(β - 1))

2·√2·√(β/(β - 1)) = 4·√2

risolvo: β = 4/3

x^2 - 3·y^2/4 = 1

4·x^2 - 3·y^2 = 4

Per β = 4/3 i punti sono:

x = √(4/3)/√(4/3 - 1) ∧ y = √(4/3)/√(4/3 - 1)

x = 2 ∧ y = 2---> [2,2]

analogamente si ottiene [-2,-2]  sull'iperbole considerata

image

 

 



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  • Vertici. $V(V_x, V_y) = V(±1,0)$
      • $V_y = 0$ significa iperbole di equazione del tipo 
        • $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
      • $V_x = ±1 \implies a^2 = 1$

L'equazione sarà del tipo $x^2 - \frac{y^2}{b^2} = 1$

.

  • Intersezione con la bisettrice 1°-3° quadrante di equazione y = x
    • Risolviamo il sistema

$\left\{\begin{aligned} x^2 - \frac{y^2}{b^2} &= 1 \\ y &= x \end{aligned}\right.$

da cui

$ x^2 = \frac {b^2}{b^2 -1}; \qquad \tag 1 $

.

desmos graph (17)
  • distanza
    • $\overline{PQ} = 4√2$
    • $\overline{OP} = 2√2$
    • $(d_{OP})^2 = x^2 + y^2$; dove d è la distanza tra O e P 
    • Nella bisettrice y = x per cui $(d_{OP})^2 = 2x^2$

eguagliando il secondo punto con il quarto

$ (2√2)^2 = 2x^2$

$x^2 = 4$

Eguagliandolo con il tag (1)

$ \frac {b^2}{b^2 -1} = 4$

$3b^2 = 4$

$b^2 = \frac {4}{3}$

.

  • Equazione dell'iperbole

$x^2 - \frac{y^2}{b^2} = 1$

$x^2 - \frac{y^2}{\frac {4}{3}} = 1$

$4x^2 - 3y^2 = 4$



Risposta




SOS Matematica

4.6
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