Scrivi le equazioni delle iperboli aventi vertici nei punti di coordinate $( \pm 2,0)$, tali che il loro asintoto appartenente al primo e al terzo quadrante stacchi sull'iperbole di equazione $x y=4$ una corda di misura $2 \sqrt{10}$.
$$
\left[\frac{x^2}{4}-y^2=1 ; \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1\right]
$$
11881
punti
Livello 2
Ogni iperbole Γ con vertici V(± 2, 0) ha equazione di forma
* Γ ≡ (x/2)^2 - (y/b)^2 = 1
ed asintoti
* y = ± (b/2)*x
dove quello nei quadranti dispari è
* y = (b/2)*x
che interseca l'iperbole x*y = 4 in
* (y = (b/2)*x) & (x*y = 4) ≡ A(- √(8/b), - √(2*b)) oppure B(√(8/b), √(2*b))
da cui
* |AB| = √(8*b + 32/b) = 2*√10 ≡ (b = 1) oppure (b = 4)
e infine
* Γ1 ≡ (x/2)^2 - y^2 = 1
* Γ2 ≡ (x/2)^2 - (y/4)^2 = 1
che è proprio il risultato atteso.
57798
punti
Genius I
