Scrivi l'equazione dell'iperbole avente i fuochi nei punti di coordinate $( \pm 2 \sqrt{2}, 0)$ e tangente alla retta di equazione $x+y-2=0$.
$$
\left[x^2-3 y^2=6\right]
$$
Scrivi l'equazione dell'iperbole avente i fuochi nei punti di coordinate $( \pm 2 \sqrt{2}, 0)$ e tangente alla retta di equazione $x+y-2=0$.
$$
\left[x^2-3 y^2=6\right]
$$
11881
punti
Livello 2
x^2/α - y^2/β = 1
Fuochi: [2·√2, 0] e [- 2·√2, 0]
Iperbole tangente ad x + y - 2 = 0
Poniamo:
α = a^2
β = b^2
γ = α + β = c^2
Quindi: α + β = (2·√2)^2----> α = 8 - β
Mettiamo a sistema:
{x^2/(8 - β) - y^2/β = 1
{x + y - 2 = 0
procediamo per sostituzione: y = 2 - x
x^2/(8 - β) - (2 - x)^2/β = 1
(2·x^2·(β - 4) + 4·x·(8 - β) + 4·(β - 8))/(β·(8 - β)) = 1
2·x^2·(β - 4) + 4·x·(8 - β) + 4·(β - 8) - β·(8 - β) = 0
2·x^2·(β - 4) + 4·x·(8 - β) + (β + 4)·(β - 8) = 0
Δ/4 = 0 condizione di tangenza
(2·(8 - β))^2 - 2·(β - 4)·(β + 4)·(β - 8) = 0
- 2·β^3 + 20·β^2 - 32·β = 0
2·β·(2 - β)·(β - 8) = 0
β = 8 ∨ β = 2 ∨ β = 0 (si esclude l'ultima possibilità!!)
α = 8 - β:
α = 8 - 8 = 0 si esclude
α = 8 - 2---> α = 6 OK
Quindi: α = 6 ∧ β = 2
x^2/6 - y^2/2 = 1----> x^2 - 3·y^2 = 6
115486
punti
Genius III
ecco a te, specifico che a=0 non è accettabile in quanto il semiasse dell'iperbole non può essere nullo (ed è anche al denominatore...)
🙂
1285
punti
Livello 1