[Risolto] EQUAZIONE IPERBOLE

Deve avere equazione

x^2/α - y^2/β = -1

con le caratteristiche richieste.

(-2)^2/α - 2^2/β = -1      (passa da [-2, 2])

4/α - 4/β = -1

quindi si riducono i parametri: α = 4·β/(4 - β)

x^2/(4·β/(4 - β)) - y^2/β = -1

x^2·(4 - β)/(4·β) - y^2/β = -1

risolvo rispetto ad y:

y = - √(x^2·(4 - β) + 4·β)/2 ∨ y = √(x^2·(4 - β) + 4·β)/2

scelgo quella in grassetto perché il punto tangente dell'iperbole ha ordinata positiva.

La relativa derivata è: y' = dy/dx=x·(4 - β)/(2·√(x^2·(4 - β) + 4·β))

per x=-2 vale: -1/3 in quanto la retta tangente ha tale valore come coefficiente angolare,

quindi: (-2)·(4 - β)/(2·√((-2)^2·(4 - β) + 4·β)) = - 1/3

(β - 4)/4 = - 1/3---->  β = 8/3

α = 4·(8/3)/(4 - 8/3)----> α = 8

x^2/8 - y^2/(8/3) = -1----> x^2/8 - 3·y^2/8 = -1

anche: x^2 - 3·y^2 = -8

Senza derivate

calcolo retta tangente:

x + 3·y + c = 0

in [-2, 2]:

-2 + 3·2 + c = 0---> c = -4

quindi: x + 3·y - 4 = 0

Metto a sistema l'iperbole con il solo parametro:

{x^2·(4 - β)/(4·β) - y^2/β = -1

{x = 4 - 3·y

procedo per sostituzione:

(4 - 3·y)^2·(4 - β)/(4·β) - y^2/β = -1

(4 - 3·y)^2·(4 - β)/(4·β) - y^2/β + 1 = 0

(y^2·(32 - 9·β) + 24·y·(β - 4) - 4·(3·β - 16))/(4·β) = 0

y^2·(32 - 9·β) + 24·y·(β - 4) - 4·(3·β - 16) = 0

Δ/4 = 0 condizione tangenza

(12·(β - 4))^2 + (32 - 9·β)·(4·(3·β - 16)) = 0

36·β^2 - 192·β + 256 = 0

4·(3·β - 8)^2 = 0---> β = 8/3

poi procedi come sopra....