Dati i punti $P(1,1)$ e $Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$, scrivi le equazioni delle iperboli, se esistono, che passano per $P$ e $Q$, aventi i fuochi rispettivamente sull'asse $x$ e sull'asse $y$.
[Sull'asse $x: 2 x^2-y^2=1$; sull'asse $y$ : impossibile]
Dati i punti $P(1,1)$ e $Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$, scrivi le equazioni delle iperboli, se esistono, che passano per $P$ e $Q$, aventi i fuochi rispettivamente sull'asse $x$ e sull'asse $y$.
[Sull'asse $x: 2 x^2-y^2=1$; sull'asse $y$ : impossibile]
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
imponendo le condizioni di appartenenza
1/a^2 - 1/b^2 = 1
2/a^2 - 3/b^2 = 1
ponendo 1/a^2 = u e 1/b^2 = v
u - v = 1
2u - 3v = 1
2u - 2v = 2
2u - 3v = 1
sottraendo
0 + v = 2 - 1 => v = 1
e u = v + 1 = 1 + 1 = 2
Allora u x^2 - v y^2 = 1
diventa
2x^2 - y^2 = 1
2)
x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1
come prima
1/a^2 - 1/b^2 = -1
2/a^2 - 3/b^2 = -1
e ancora
u - v = -1
2u - 3v = -1
per cui
2u - 2v = -2
2u - 3v = -1
sottraendo
-2v + 3v = -2 + 1
v = -1
1/b^2 = -1
impossibile perché b^2 deve essere positivo.
L'iperbole richiesta in questo caso non esiste.