[Risolto] Equazione goniometrica

sin(4x)*cos(5x)=sin(6x)*cos(3x)

Applichiamo la relativa formula di Werner ad ambo i membri

(1/2)sin(4x+5x)+sin(4x-5x) = (1/2)sin(6x+3x)+sin(6x-3x)

sin(9x) + sin(-x) = sin(9x) + sin(3x) 

Semplifichiamo sin(9x)

sin(3x) + sinx = 0

applico la formula dell'addizione

sin(2x+x) + sinx = 0

sin(2x)cos(x)+cos(2x)sinx + sinx = 0

2sin(x)cos²x + sin(x)*(2cos²x-1) + sin(x) = 0

fattorizziamo sinx

sinx[2cos²x+2cos²x-1+1] = 0 

due possibilità

i) sin(x) = 0 ⇒ x = kπ con k numero relativo

ii) cos²x=0 ⇒ cosx=0 ⇒ x=π/2 + kπ con k numero relativo

@mirea00

Ciao carissima.

So che:

SIN(α + β) = SIN(α)·COS(β) + SIN(β)·COS(α)

SIN(α - β) = SIN(α)·COS(β) - SIN(β)·COS(α)

----------------------------------------- (sommo)

SIN(α - β) + SIN(α + β) = 2·SIN(α)·COS(β)

Applico tale formula al 1° membro:

SIN(4·x)·COS(5·x) = 1/2·(SIN(4·x - 5·x) + SIN(4·x + 5·x))

Applico tale formula al 2° membro:

SIN(6·x)·COS(3·x) = 1/2·(SIN(6·x - 3·x) + SIN(6·x + 3·x))

Quindi:

SIN(4·x - 5·x) + SIN(4·x + 5·x) = SIN(6·x - 3·x) + SIN(6·x + 3·x)

- SIN(x) + SIN(9·x) = SIN(3·x) + SIN(6·x + 3·x)

- SIN(x) + SIN(9·x) = SIN(3·x) + SIN(9·x)

SIN(3·x) + SIN(x) = 0 che è equivalente a quella data: SIN(4·x)·COS(5·x)=SIN(6·x)·COS(3·x)

ma:

SIN(3·x) = SIN(x + 2·x)

SIN(3·x) = SIN(x)·COS(2·x) + SIN(2·x)·COS(x)

SIN(3·x) = SIN(x)·COS(2·x) + SIN(2·x)·COS(x)

SIN(3·x) = SIN(x)·(COS(x)^2 - SIN(x)^2) + (2·SIN(x)·COS(x))·COS(x)

SIN(3·x) = SIN(x)·(2·COS(x)^2 - 1) + 2·SIN(x)·COS(x)·COS(x)

SIN(3·x) = 4·SIN(x)·COS(x)^2 - SIN(x)

Quindi l'equazione data è equivalente.

4·SIN(x)·COS(x)^2 = 0

Annullamento di un prodotto:

SIN(x) = 0--------->x = k*pi

COS(x) = 0--------> x = pi/2 + k*pi

PROSTAFERESI INVERSA (Werner)
* sin(m*x)*cos(n*x) = (sin((m - n)*x) + sin((m + n)*x))/2
CASO IN ESAME
* sin(4*x)*cos(5*x) = sin(6*x)*cos(3*x) ≡
≡ (sin(- x) + sin(9*x))/2 = (sin(3*x) + sin(9*x))/2 ≡
≡ sin(- x) = sin(3*x) ≡
≡ sin(3*x) = - sin(x)
e, nel primo giro, si vede per ispezione che è vera per x in {0, 90, 180, 270}°.
QUINDI
"Dovrebbe dare 90°k" va benissimo (salvo com'è scritto!).