[Risolto] Derivata funzione irrazionale

@exprof per metodo lungo intendo questo (allego foto). In teoria è quello che preferisco ma ho difficoltà a capire come scrivere i termini come somma o differenza in modo tale da raccogliere e poi mettere in evidenza per effettuare varie semplificazioni.

@exprof in particolare, come in questo caso dove si scrive 33x^2 come somma di 12x^2+ 21x^2 e 90x si scrive come somma di 63x+27x proprio per ottenere poi (x+3) e metterlo in evidenza. Non capisco come scrivere bene come somma i numeri in modo tale da poter ottenere questo perché 33 potrebbe essere scritto anche come somma di 30x^2+3x^2 ecc. Non so se mi sono fatto capire 

@Enrico200
Non sono certo d'avere compreso.
Quello di "capire come scrivere i termini come somma o differenza" è un metodo che più che lungo mi sembra demenziale.
Per scomporre il polinomio
* P(x) = 4*x^3 + 33*x^2 + 90*x + 81 = (4*x + 9)*(x + 3)^2
col metodo demenziale già devi sapere che vai cercando il binomio "x + 3" e allora non serve a nulla "scrivere i termini come somma o differenza": tanto vale che provi subito a fare la divisione! Anzi, meglio ancora, che valuti p(- 3): se il valore è zero, P(x) è divisibile per "x + 3"; se no, provi un altro divisore.
Già alla fine del 1500 François Viète pubblicò una procedura sistematica per individuare gli eventuali zeri razionali di un polinomio a coefficienti razionali.
La procedura è un po' lunghina da esporre, ma rapida da applicare (usando WolframAlpha, siamo nel 2021!).
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A) Estrarre l'unico fattore di grado zero, il coefficiente direttore.
* P(x) = 4*x^3 + 33*x^2 + 90*x + 81 =
= 4*p(x) =
= 4*(x^3 + 33*x^2/4 + 45*x/2 + 81/4)
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B) Scrivere il polinomio monico residuo p(x) nella forma di Horner-Ruffini per minimizzare le operazioni di ciascuna valutazione
* p(x) = ((x + 33/4)*x + 45/2)*x + 81/4
(due moltiplicazioni e tre addizioni).
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C) Elencare tutti i divisori interi del numeratore del termine noto e tutti quelli naturali del denominatore
* N = {n} = {- 81, - 27, - 9, - 3, - 1, 1, 3, 9, 27, 81}
* D = {d} = {1, 2, 4}
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D) Elencare tutte le frazioni "n/d"
* Z = {z} = {-81, -81/2, -27, -81/4, -27/2, -9, -27/4, -9/2, -3, -9/4, -3/2, -1, -3/4, -1/2, -1/4, 1/4, 1/2, 3/4, 1, 3/2, 9/4, 3, 9/2, 27/4, 9, 27/2, 81/4, 27, 81/2, 81}
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E) Se esistono zeri razionali essi sono tutti nell'insieme {z}, quindi per individuarli basta valutare p(z) per ogni z.
Se esistono zeri reali irrazionali essi cadono negl'intervalli delimitati da due valutazioni di segno opposto.
Ovviamente è impensabile di calcolare tutto a mano: si usano opportuni strumenti software
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B%7Bx%2C%28%28x--33%2F4%29*x--45%2F2%29*x--81%2F4%7D%2C%7Bx%2C%7B-81%2C-81%2F2%2C-27%2C-81%2F4%2C-27%2F2%2C-9%2C-27%2F4%2C-9%2F2%2C-3%2C-9%2F4%2C-3%2F2%2C-1%2C-3%2F4%2C-1%2F2%2C-1%2F4%7D%7D%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5B%7Bx%2C%28%28x--33%2F4%29*x--45%2F2%29*x--81%2F4%7D%2C%7Bx%2C%7B1%2F4%2C1%2F2%2C3%2F4%2C1%2C3%2F2%2C9%2F4%2C3%2C9%2F2%2C27%2F4%2C9%2C27%2F2%2C81%2F4%2C27%2C81%2F2%2C81%7D%7D%5D
dove s'identificano due soli zeri razionali
{..., {-3, 0}, {-9/4, 0}, ...}
Perciò, dividendo p(x) per il prodotto "(x + 3)*(x + 9/4)" si completa la scomposizione
* (x^3 + 33*x^2/4 + 45*x/2 + 81/4)/((x + 3)*(x + 9/4)) = x + 3
da cui infine
* P(x) = 4*x^3 + 33*x^2 + 90*x + 81 =
= 4*(x^3 + 33*x^2/4 + 45*x/2 + 81/4) =
= 4*(x + 3)*(x + 9/4)*(x + 3) =
= 4*(x + 9/4)*(x + 3)^2

@exprof "metodo demenziale" mi ha fatto ridere Ahahahaha. Magari avere un docente come te che spiega così, altro che quello che ho io...