Scrivi l'equazione del fascio di parabole tangenti nel vertice V(2;4) alla retta di equazione y = 4 e determina la parabola tangente alla retta di equazione y = 4x -6.
Risposte y = 4 + k(x-2)^2 ; y = 2x^2 - 8x +12
Ringrazio tutti per il vostro concreto e valido aiuto
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Livello 1
Ciao di nuovo.
Una generica parabola tangente all’asse delle x in un punto x=k si scrive:
y=a(x-k)^2. Essa è quindi tangente in (k,0) in corrispondenza del suo vertice V. Noi sappiamo che x=2 quindi possiamo scrivere y = a(x-2)^2. L’ordinata è poi y=4 quindi si deve traslare quanto detto in modo esclusivamente verticale di 4. Significa operare la sostituzione:
y——>y-4 lasciando x inalterato.
Equazione del fascio è quindi
y-4 = a (x-2)^2———> y=4+a(x-2)^2
che è il fascio richiesto.
{y = 4 + a·(x - 2)^2
{y = 4·x - 6
procedo con sostituzione:
4·x - 6 = 4 + a·(x - 2)^2
a·x^2 - 4·a·x + 4·a + 4 - (4·x - 6) = 0
a·x^2 - x·(4·a + 4) + (4·a + 10) = 0
tangenza: Δ = 0
(4·a + 4)^2 - 4·a·(4·a + 10) = 0
(16·a^2 + 32·a + 16) - (16·a^2 + 40·a) = 0
16 - 8·a = 0-----> a = 2
Parabola: y = 4 + 2·(x - 2)^2----> y = 2·x^2 - 8·x + 12
punto di tangenza:
2·x^2 - x·(4·2 + 4) + (4·2 + 10) = 0
2·x^2 - 12·x + 18 = 0
2·(x - 3)^2 = 0------> x=3
y = 4·3 - 6----> y = 6
A(3,6)
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Genius II
La condizione che la tangente di vertice sia parallela all'asse x equivale a dire che l'asse di simmetria sia parallelo all'asse y.
Ogni parabola con:
* asse di simmetria parallelo all'asse y;
* apertura a != 0;
* vertice V(w, h);
ha equazione
* Γ(a, w, h) ≡ y = h + a*(x - w)^2
e pendenza
* m(x) = 2*a*(x - w)
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La condizione che il vertice sia V(2, 4) specializza equazione e pendenza in
* Γ(a) ≡ y = 4 + a*(x - 2)^2
* m(x) = 2*a*(x - 2)
cioè in un fascio parametrato dalla sola apertura ovvero, equivalentemente, da concavità e distanza focale.
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5By%3D4--a*%28x-2%29%5E2%2C%7Ba%2C-3%2C3%7D%5D
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La condizione di tangenza con la retta
* t ≡ y = 4*x - 6
di pendenza m = 4 impone anzitutto il vincolo della pari pendenza
* m(x) = 2*a*(x - 2) = 4 ≡ x = 2*(a + 1)/a
e poi quello della pari ordinata del comune punto T di tangenza
* ≡ 4 + a*(x - 2)^2 = 4*x - 6 ≡
≡ 4 + a*(2*(a + 1)/a - 2)^2 - (4*2*(a + 1)/a - 6) = 0 ≡
≡ 2 - 4/a = 0 ≡
≡ a = 2
da cui
* x = 2*(2 + 1)/2 = 3
* y = 4*3 - 6 = 6
* T(3, 6)
* Γ(2) ≡ y = 4 + 2*(x - 2)^2
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D4*x-6%2Cy%3D4--2*%28x-2%29%5E2%5D
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Genius I
