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@Giorgia32 

Esistono due parabole che soddisfano le condizioni richieste. Una con asse // asse y ed una con asse // asse x

Per trovare la prima parabola al punto:

(1) Sommo e sottraggo la seconda e la terza. Sostituisco b= - 5/2, valore trovato sottraendo la terza alla seconda, nella prima 

(2) Sottraggo la seconda alla terza e trovo il valore di a 

(3) Sostituisco il valore di a nella terza 

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Per trovare la seconda parabola al punto:

(A) Sottraggo la prima alla seconda e trovo il valore di b. Sommo la prima e la seconda. Sostituisco il valore di b trovato nella terza. 

(B) Sottraggo alla seconda due volte la terza e trovo il valore di a

(C) Sostituisco nella seconda il valore di a trovato e trovo c. 

y = a·x^2 + b·x + c

parabola ad asse verticale:

{-1 = a·1^2 + b·1 + c

{1 = a·2^2 + b·2 + c

{11 = a·(-2)^2 + b·(-2) + c

Imponendo i passaggi per A e B e C

{a + b + c = -1

{4·a + 2·b + c = 1

{4·a - 2·b + c = 11

per sostituzione:

c = -a - b - 1 quindi:

{4·a + 2·b + (-a - b - 1) = 1

{4·a - 2·b + (-a - b - 1) = 11

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{3·a + b - 1 = 1

{3·a - 3·b - 1 = 11

---------------

b = 2 - 3·a per sostituzione:

3·a - 3·(2 - 3·a) - 1 = 11

12·a - 7 = 11-------> a = 3/2

b = 2 - 3·(3/2)------> b = - 5/2

c = - 3/2 - (- 5/2) - 1------> c = 0

quindi: y = 3/2·x^2 + (- 5/2)·x + 0------> y = 3·x^2/2 - 5·x/2

Analogamente si ottiene la parabola ad asse orizzontale di figura:

NESSUNO TI PUO' SCRIVERE L'EQUAZIONE DELLA PARABOLA AL SINGOLARE: per avere una SINGOLA parabola di punti ne devi dare cinque, e con nessuna terna allineata.
Con soli tre punti di parabole ne hai una duplice infinità (un grado di libertà in più per ogni vincolo in meno).
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CON METODO DI SOSTITUZIONE
La generica parabola del piano Oxy ha equazione
* Γ(a, b, c, u, v) ≡ p(x, y) = (u*x + v*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
dove ci sono cinque variabili indeterminate (a, b, c, u, v) che parametrizzano la forma normale canonica p(x, y) = 0.
Le tre condizioni di passaggio impongono tre vincoli sui parametri
* A(1, - 1): (u*1 - v*1)^2 + a*1 - b*1 + c = 0 ≡ (u - v)^2 + a - b + c = 0
* B(2, 1): (u*2 + v*1)^2 + a*2 + b*1 + c = 0 ≡ (2*u + v)^2 + 2*a + b + c = 0
* C(- 2, 11): (- 2*u + v*11)^2 - 2*a + b*11 + c = 0 ≡ (11*v - 2*u)^2 - 2*a + 11*b + c = 0
il cui sistema
* ((u - v)^2 + a + c = b) & ((2*u + v)^2 + 2*a + c = - b) & ((11*v - 2*u)^2 + 11*b + c = 2*a) ≡
≡ (a = - (5*u^2 + 26*u*v - 40*v^2)/3) & (b = - 2*(u^2 - 2*u*v + 10*v^2)/3) & (c = 3*(4*u*v - 7*v^2))
di parametri ne determina tre soli e ne lascia liberi due.
* Γ(u, v) ≡ p(x, y) = (u*x + v*y)^2 - ((5*u^2 + 26*u*v - 40*v^2)/3)*x - (2*(u^2 - 2*u*v + 10*v^2)/3)*y + 3*(4*u*v - 7*v^2) = 0