[Risolto] Equazione differenziale

* 4*y'' + y = k → y = a*sin(x/2) + b*cos(x/2) + k
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Metodo di Lagrange (secondo ordine)
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1) 4*y'' + y = 0 → yO = a*sin(x/2) + b*cos(x/2)
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2) (u*sin(x/2) + v*cos(x/2) = 0) & (u*D[sin(x/2)] + v*D[cos(x/2)] = 1) ≡
≡ (u*sin(x/2) + v*cos(x/2) = 0) & (u*cos(x/2) - v*sin(x/2) = 2) ≡
≡ (v = - u*tg(x/2)) & (u*cos(x/2) - (- u*tg(x/2))*sin(x/2) = 2) ≡
≡ (u = 2*cos(x/2)) & (v = - (2*cos(x/2))*tg(x/2) = - 2*sin(x/2))
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3a) U = ∫ u*dx = ∫ 2*cos(x/2)*dx = 4*sin(x/2)
3b) V = ∫ v*dx = ∫ (- 2*sin(x/2))*dx = 4*cos(x/2)
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4) yP = U*sin(x/2) + V*cos(x/2) =
= 4*sin^2(x/2) + 4*cos^2(x/2) =
= 4*(sin^2(x/2) + cos^2(x/2)) = 4
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5) y = yO + yP = a*sin(x/2) + b*cos(x/2) + 4
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VERIFICA
* y' = (a*cos(x/2) - b*sin(x/2))/2
* y'' = - (a*sin(x/2) + b*cos(x/2))/4
* 4*y'' + y =
= 4*(- (a*sin(x/2) + b*cos(x/2))/4) + (a*sin(x/2) + b*cos(x/2) + 4) = 4
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Ti lascio il piacere di scoprire in quale delle cinque fasi del metodo la mia atrofia cerebrale abbia lasciato il segno.

4y'' + y = 0

y'' + 1/4 y = 0

yo(x) = C1 cos (x/2) + C2 sin (x/2)

yP = 1 per il metodo di somiglianza

y(x) = 1 + C1 cos (x/2) + C2 sin (x/2)