20
punti
Livello 0
Problema:
Si risolva il seguente problema di Cauchy:
$\{ y'=e^yx, \ \ y(1)=0\}$
Soluzione:
L'equazione può essere risolta con il metodo delle variabili separabili dato che è possibile portare tutte le $y$ da un lato e tutte le $x$ dall'altro.
$\frac{y'}{e^y}=x$
Integrando entrambi i membri si ha
$-\frac{1}{e^y}=\frac{x²}{2}+c$
$-\frac{2}{x²+c}=e^y$
$y=\ln (\frac{-2}{x²+c})$
Risolvendo il sistema:
$-\frac{2}{1+c}=1$
$1+c=-2$
$c=-3$
La soluzione, ove esiste, è dunque:
$y=\ln (\frac{-2}{x²-3})$
6218
punti
Livello 6