[Risolto] equazione di una parabola

Il fascio di parabole
* Γ ≡ y = - x^2 + 2*(k + 2)*x - (5*k + 7) ≡
≡ y = (k^2 - k - 3) - (x - (k + 2))^2 ≡
≡ y = (x - ((k + 2) - √(k^2 - k - 3)))*(x - ((k + 2) + √(k^2 - k - 3)))
ha
* zeri: x = (k + 2) ± √(k^2 - k - 3)
* vertice: V((k + 2), (k^2 - k - 3))
* luogo dei vertici: y = x^2 - 5*x + 3
* asse di simmetria x = (k + 2)
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) passa per il punto P(1, 2)
Da
* 2 = (k^2 - k - 3) - (1 - (k + 2))^2 ≡ k = - 2
si ha
* Γ ≡ y = 3 - x^2
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b) ha asse di simmetria x = 2
Da
* asse di simmetria x = (k + 2) = 2 ≡ k = 0
si ha
* Γ ≡ y = - x^2 + 4*x - 7
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c) ha il vertice di ordinata - 1
Da
* vertice: V((k + 2), (k^2 - k - 3))
si ha
* k^2 - k - 3 = - 1 ≡ (k = - 1) oppure (k = 2)
e quindi due parabole
* Γ1 ≡ y = - x^2 + 2*x - 2
* Γ2 ≡ y = - x^2 + 8*x - 17
vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-2*x%3D-x%5E2-2%2Cy-8*x%3D-x%5E2-17%5D

Passa per P: appartenenza del punto al fascio. 

k=-2

Asse di simmetria: x=k+2 => k=0

Il vertice è un punto dell'asse. Imponendo la condizione di appartenenza del punto di ascissa x=k+2 si ricava il valore del parametro 

-1 = - (k+2)²+2(k+2)²-5k-7

k²-k-2=0

k=2 v k=-1