[Risolto] Equazione di un iperbole e parametri

La funzione è definita se

cx+d≠0

per il principio di identità dei polinomi 

c≠0 ∧ d≠0.

 

 

a. y(x) = k con k costante reale.

(ax+b)/(cx+d) = k

ax+b = kcx + dk

Applichiamo il principio di identità dei polinomi

-) a=kc ⇒ k=a/c

-) b=kd

sostituendo la prima nella seconda si ha b=(a/c)*d 

bc=ad con c≠0 ∧ d≠0 (cioè dove è definita)

 

b) è una funzione lineare. 

y(x) = (ax+b)/d = (a/d)x+(b/d)

Occorre che il denominatore sia una costante reale, quindi

• c = 0;  con a≠0 ∧ d≠0

 

c) è una iperbole equilatera di centro C(-1,2)

Cioè una funzione omografica di centro C(-1,2). In questo caso

• -d/c = -1 ⇒ d=c
• a/c = 2 ⇒ a=2c

Ovviamente c≠0 visto che compare al denominatore, inoltre y(x) non deve essere una costante quindi bc≠ad

introducendo le relazioni precedenti

bc≠2c*c ⇒ b≠2c. Riassumendo le condizioni,

•  c≠0 e b≠2c

a. di una funzione costante nel dominio.

Il rapporto fra le 2 funzioni lineari al numeratore ed al denominatore deve essere costante: y=k se a: c= b:d= k—-> ad=bc

non si deve annullare il denominatore perché si avrebbe un rapporto impossibile c e d non entrambi nulli.

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b. Di una funzione lineare y= mx+q

devono essere soddisfatte le soluzioni date: c=0 , in tale caso m=a/d e poi q= b/d per cui deve essere d non nullo, come pure a

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c. Lascio a te l’ultimo punto 

cx+d=0 per x=-1

a/c=2 …….

buonanotte!

Il grafico rappresentato dalla funzione
* f(x) = y = (a*x + b)/(c*x + d)
ha un asintoto verticale nell'ascissa
* x = - d/c
che, per c != 0 e qualunque d, annulla il denominatore;
mentre per (d != 0) & (c = 0) diventa
* f(x) = y = a*x/d + b/d
cioè una funzione lineare di pendenza m = a/d e intercetta q = b/d.
Per (d = 0) & (c = 0) l'espressione perde ogni significato algebrico.
Quindi la funzione, anche se c*d = 0, è comunque definita purché si abbia
* c + d != 0
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Poiché
* lim_(x → ∞) (a*x + b)/(c*x + d) =
= lim_(x → ∞) (a + b/x)/(c + d/x) = a/c
se la funzione non è lineare (c != 0) allora ha anche un asintoto orizzontale in
* y = a/c
ma questa costante si può anche vedere viceversa; per avere
* y = (a*x + b)/(c*x + d) = a/c
occorre e basta una di due condizioni
* (a = b = 0) & (c != 0) & (x != - d/c)
oppure
* (a != 0) & (c != 0) & (x != - b/a) & (d = b*c/a)
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Per
* (c != 0) & (d != b*c/a)
la funzione non rappresenta una retta, qual che ne sia la pendenza, ma una famiglia di iperboli equilatere con asintoti paralleli agli assi coordinati e centrate nella loro intersezione C(- d/c, a/c).
Il centro ha le richieste coordinate (- 1, 2) per
* (d = c) & (a = 2*c)
cioè, con k = - b/c, si ha il fascio
* f(x) = y = (2*x - k)/(x + 1)
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5By%3D%282*x-k%29%2F%28x%2B1%29%2C%7Bk%2C-2%2C2%7D%5D