Ciao!
Ho questa equazione di secondo grado:
$\frac{a+b}{bx}+\frac{1}{x-a}=\frac{2a}{(x-b)a}$
sviluppando i calcoli:
C.E.: $x\neqa$, $x\neqb$, $x\neq0$, $a\neq0$, $b\neq0$
$\frac{(x-a)(x-b)(a+b)+bx(x-b)-2(bx(x-a))}{bx(x-a)(x-b)}=0$
$ax^2-x(a^2+2b^2)+ab(a^2+b^2)=0$
Ottengo come soluzioni:
$x=\frac{a^2+2b^2\pm \sqrt{(-a-2b)^2-4a(a^3b+ab^3)}}{2a}$
Mentre secondo il libro sono:
$x=a+b$ e $x=\frac{ab}{2b-a}$
Conrollando su wolphram alpha le mie soluzioni sono corrette, dunque sbaglia il testo?
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Livello 1
L'equazione
* (a + b)/(b*x) + 1/(x - a) = 2*a/(a*(x - b))
NON E' AFFATTO DI SECONDO GRADO
in quanto, con l'incognita a denominatore, non è polinomiale e quindi non ha grado.
Si può tuttavia ridurre a un sistema composto da un'equazione di secondo grado e dalle restrizioni
* (a != x != b) & (a*b*x != 0)
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* (a + b)/(b*x) + 1/(x - a) = 2*a/(a*(x - b)) ≡
≡ (a + b)/(b*x) + 1/(x - a) - 2/(x - b) = 0 ≡
≡ x^2 - ((a^2 + 2*b^2)/a)*x + b*(a + b) = 0
da questa si rilevano somma e prodotto delle radici
* s = X1 + X2 = (a^2 + 2*b^2)/a
* p = X1 * X2 = b*(a + b)
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Dai valori del risultato atteso
* X1 = (a + b)
* X2 = a*b/(2*b - a)
si ottiene invece
* s = X1 + X2 = (a + b) + a*b/(2*b - a) = (a^2 - 2*a*b - 2*b^2)/(a - 2*b)
* p = X1 * X2 = (a + b)*a*b/(2*b - a)
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Il risultato atteso è accettabile solo se risulta identicamente vera la condizione
* ((a^2 - 2*a*b - 2*b^2)/(a - 2*b) = (a^2 + 2*b^2)/a) & ((a + b)*a*b/(2*b - a) = b*(a + b)) & (a*b != 0)
che invece presenta la soluzione unica
* b = a
quindi il risultato atteso è la soluzione di un altro esercizio, non di questo.
Per questo esercizio le radici sono
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
dove
* Δ = s^2 − 4*p
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Genius I
