Una piramide retta a base quadrata ha lato di base di 5 cm e altezza di 10 cm. Calcola a che distanza dal vertice deve essere tagliata affinchè il tronco di piramide e la piramide risultanti siano tra loro equivalenti. (7.94 cm)
Grazie mille a chi potrà aiutarmi 🙂
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Livello 0
Il Teorema delle Sezioni Parallele
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_delle_sezioni_parallele
afferma che, in un solido a punta (cono, piramide), condotti dei piani paralleli alla base del solido, i solidi individuati sono simili e il loro rapporto di similitudine è il rapporto tra le altezze (distanza del piano parallelo dal vertice), il rapporto tra le aree è il quadrato del rapporto tra le altezze, e il rapporto tra i volumi è il cubo del rapporto tra le altezze.
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Nel problema proposto si chiede che il rapporto tra i volumi sia un mezzo, quindi quello fra le altezze dev'essere la radice cubica di un mezzo
* h/H = x/10 = (1/2)^(1/3) ≡
≡ x = 10*(1/2)^(1/3) = (1000/2)^(1/3) =
= (4*5^3)^(1/3) = 5*2^(2/3) ~= 7.9370 ~= 7.94
che è proprio il risultato atteso.
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Genius I
@exprof scusa, non riesco a capire perchè un mezzo. Potresti spiegare? Grazie
@exprof risolto 😀
@eva ..1/2 è il rapporto tra il volume della piramide ridotta soprastante e quellio della piramide sintera ; inutile avventurarsi nel complicato calcolo del volume del tronco di piramide : il problema lo si risolve confrontando tra loro due piramidi il cui volume sta nel rapporto 1:2
Nei due triangoli simili che si ottengono tagliando la piramide con un piano passante per il vertice e _l_ alla base base, spigolo ed altezza variano in proporzione , per cui il volume V delle due piramidi è proporzionale al cubo delle rispettive altezze
V/h^3 = V/(2*h'^3)
V smamma
2*h'^3 = h^3
h' = h/³√2 = 10/³√2 = 7,9370 cm
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Genius II
