[Risolto] Equazione di secondo grado con radicali

Fu la prima impressione (troppo timorosa) a farti pubblicare la domanda: in effetti l'equazione 262 non è con radicali (non c'è nessuna x sotto radice, c'è solo √2 come costante) e non è di secondo grado non essendo polinomiale (c'è almeno una x a denominatore).
La si trasforma in una di secondo grado (senza radicali), ma solo con condizioni restrittive.
Un'equazione è di secondo grado se e solo se è riducibile alla forma normale canonica monica
* x^2 - s*x + p = 0
mentre la 262 si riduce a
* (x^2 - s*x + p = 0) & (x != - √2) & (x != √2)
che, come si vede, è un'altra forma.
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L'equazione
262) 1 + √2/(x - √2) = 4/(x^2 - 2)
è definita se e solo se nessun denominatore s'annulla, cioè per x != ± √2.
Esclusi quei due valori (lo si aggiunge alla fine) sono lecite le seguenti equivalenze.
* 1 + √2/(x - √2) = 4/(x^2 - 2) ≡
≡ 1 + √2/(x - √2) - 4/(x^2 - 2) = 0 ≡
≡ (x^2 - 2)*1 + (x^2 - 2)*√2/(x - √2) - (x^2 - 2)*4/(x^2 - 2) = 0 ≡
≡ x^2 + (√2)*x - 4 = 0 ≡
≡ (x^2 - s*x + p = 0) & (x != - √2) & (x != √2)
dove
* s = - √2
* p = - 4
da cui
* Δ = s^2 − 4*p = (√2)^2 − 4*(- 4) = 18
* √Δ = √18 = 3*√2
* X1 = (s - √Δ)/2 = (- √2 - 3*√2)/2 = - 2*√2
* X2 = (s + √Δ)/2 = (- √2 + 3*√2)/2 = √2
infine
* (x^2 + (√2)*x - 4 = 0) & (x != - √2) & (x != √2) ≡
≡ ((x = - 2*√2) oppure (x = √2)) & (x != - √2) & (x != √2) ≡
≡ x = - 2*√2
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Come dovresti aver notato l'equazione 262 non s'è rivelata di secondo grado in quanto l'applicazione delle condizioni restrittive ha violato il teorema fondamentale dell'algebra che a un'equazione di grado N prescrive d'avere esattamente N radici.
Per la 262, N = 2; ma c'è una sola radice.