Equazione di secondo grado

Il sistema retta - ellisse é simmetrico   u = 2x e v = 3y

 

u + v = 7

u^2 + v^2 = 25

 

u^2 + 2uv + v^2 = 49

2uv = 24 => uv = 12

 

t^2 - 7t + 12 = 0

 

t = 3 V t = 4

(3,4) o (4,3)

 

(3/2, 4/3) (2, 1)

avendo diviso per 2 e per 3

per dedurre x,y da u, v

Il richiesto insieme dei punti comuni alla retta
* r ≡ 2*x + 3*y = 7 ≡ y = (7 - 2*x)/3
e all'ellisse
* Γ ≡ 4*x^2 + 9*y^2 = 25 ≡ (x/(5/2))^2 + (y/(5/3))^2 = 1
è l'insieme delle soluzioni reali del sistema delle loro equazioni
* r & Γ ≡ (y = (7 - 2*x)/3) & (4*x^2 + 9*y^2 = 25) ≡
≡ (y = (7 - 2*x)/3) & (4*x^2 + 9*((7 - 2*x)/3)^2 - 25 = 0) ≡
≡ (8*(x - 3/2)*(x - 2) = 0) & (y = (7 - 2*x)/3) ≡
≡ ((x = 3/2) oppure (x = 2)) & (y = (7 - 2*x)/3) ≡
≡ (x = 3/2) & (y = (7 - 2*3/2)/3) oppure (x = 2) & (y = (7 - 2*2)/3) ≡
≡ P1(3/2, 4/3) oppure P2(2, 1)
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%287-2*x%29%2F3%2C4*x%5E2%3D25-9*y%5E2%5D
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EQUAZIONE RISOLVENTE DI SECONDO GRADO
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A) Ridurre l'equazione data alla forma normale canonica monica.
* 4*x^2 + 9*((7 - 2*x)/3)^2 - 25 = 0 ≡
≡ 4*x^2 + 9*(7 - 2*x)^2/3^2 - 25 = 0 ≡
≡ 4*x^2 + 4*x^2 - 28*x + 49 - 25 = 0 ≡
≡ 8*x^2 - 28*x + 24 = 0 ≡
≡ x^2 - (7/2)*x + 3 = (x - X1)*(x - X2) = 0
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B) Completare il quadrato dei termini variabili; scrivere il termine noto come opposto di un quadrato; applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati"; ridurre; applicare la legge di annullamento del prodotto; distinguere le radici.
* x^2 - (7/2)*x = (x - 7/4)^2 - (7/4)^2 = (x - 7/4)^2 - 49/16
* x^2 - (7/2)*x + 3 = 0 ≡
≡ (x - 7/4)^2 - 49/16 + 3 = 0 ≡
≡ (x - 7/4)^2 - (1/4)^2 = 0 ≡
≡ (x - 7/4 + 1/4)*(x - 7/4 - 1/4) = 0 ≡
≡ (x - 3/2)*(x - 2) = 0 ≡
≡ (x - 3/2 = 0) oppure (x - 2 = 0) ≡
≡ (X1 = 3/2) oppure (X2 = 2)