[Risolto] Equazione della parabola e retta di equazione

1. 

Equazione canonica parabole con asse di simmetria parallelo all'asse delle y

y = ax²+bx+c.

Dai dati possiamo ricavare un sistema di 3 equazioni nelle incognite a, b, c

{xV = -b/2a = -2 ⇒ b = 4a ← componente x del Vertice

{yV = -(b²-4ac)/4a = 4  ⇒ b²-4ac = -16a ← componente y del Vertice

{3 = 9a-3b+c ← passa per P(-3,3)

che ammette due soluzioni:

i) a=0; b=0; c=3 da scartare visto che il risultato non è una parabola

ii) a=-1; b=-4; c=0

alla quale corrisponde la parabola y = -x²-4x

@diegobarbarossa

Sei nuovo. Benvenuto!

Un invito a leggere il :

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

Quindi ti invio solo il secondo visto che il primo te l'hanno già risolto (un esercizio per volta!)

Metto a sistema:

{y = x - 3

{y = - x^2 + 3·x + 5

risolvo con il metodo della sostituzione.

x - 3 = - x^2 + 3·x + 5

x^2 - 2·x - 8 = 0-----> (x + 2)·(x - 4) = 0-----> x = 4 ∨ x = -2

inserendo tali valori nella prima equazione si ottiene la soluzione del sistema:

[x = -2 ∧ y = -5, x = 4 ∧ y = 1]------> A(-2,-5)   e   B(4,1)

la distanza AB è:

AB=d = √((-2 - 4)^2 + (-5 - 1)^2)----> d = 6·√2 (d = 8.49)

1) Ogni parabola con
* asse parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione
* y = h + a*(x - w)^2
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Se è dato
* V(- 2, 4)
l'equazione diventa
* y = 4 + a*(x + 2)^2
---------------
La condizione "passante per il punto (-3;3)" impone il vincolo
* 3 = 4 + a*(- 3 + 2)^2 ≡ a = - 1
da cui infine
* y = 4 - (x + 2)^2 = - x^2 - 4*x = - x*(x + 4)
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2) La lunghezza L del segmento di estremi A e B è la misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti le distanze fra le omologhe rette coordinate per gli estremi
* L(AB) = √((xA - xB)^2 + (yA - yB)^2)
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Le coordinate degli estremi della corda AB sono le soluzioni del sistema
* (y = x - 3) & (y = - x^2 + 3*x + 5) ≡ A(- 2, - 5) oppure B(4, 1)
da cui
* L(AB) = 6*√2