Scrivi l'equazione della parabola avente il vertice nel punto V(2;3) e tale che l'ordinata del fuoco superi di 4 l'ordinata di tutti i punti della direttrice.
Scrivi l'equazione della parabola avente il vertice nel punto V(2;3) e tale che l'ordinata del fuoco superi di 4 l'ordinata di tutti i punti della direttrice.
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Livello 1
Ciao. La parabola in questione deve essere del tipo ad asse verticale in quanto la direttrice è orizzontale.
Quindi ha equazione:
y = a·x^2 + b·x + c con vertice V(2, 3)
Quindi possiamo sicuramente scrivere:
{3 = a·2^2 + b·2 + c (passaggio per V)
{- b/(2·a) = 2 (posizione asse verticale: passa per x=2)
quindi risolvendo:
{4·a + 2·b + c = 3
{b = - 4·a
si ottiene per sostituzione: 4·a + 2·(- 4·a) + c = 3-----> c - 4·a = 3
c = 4·a + 3
Siccome il fuoco F è interno alla parabola e le sue coordinate sono maggiori della quota della direttrice.
Si ha:
YF = 1/(4·a) + 3 (essendo 1/(4a) la distanza focale)
Mentre la direttrice è data dalla equazione:
YD= 3 - 1/(4·a)
Quindi si deve scrivere: 1/(4·a) + 3 - (3 - 1/(4·a)) = 4
1/(2·a) = 4-----> a = 1/8
quindi per sostituzione:
c = 4·(1/8) + 3-------> c = 7/2
eb = - 4·1/8--------> b = - 1/2
L'equazione è quindi: y = 1/8·x^2 - 1/2·x + 7/2
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Genius III