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[Risolto] Equazione della circonferenza

  

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Scrivi l'equazione della circonferenza passante per i punti A(3,0); B(5,4); C (-1;4) e rappresentala nel piano cartesiano . Determina poi le rette tangenti alla circonferenza condotte nel punto D (-2;1)

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VEDI IN FONDO I RIPASSI DEL CASO.
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Vincoli d'appartenenza
* A(3, 0): (3 - a)^2 + (0 - b)^2 = q
* B(5, 4): (5 - a)^2 + (4 - b)^2 = q
* C(- 1, 4): (- 1 - a)^2 + (4 - b)^2 = q
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Sistema
* ((3 - a)^2 + (0 - b)^2 = q) & ((5 - a)^2 + (4 - b)^2 = q) & ((- 1 - a)^2 + (4 - b)^2 = q) ≡
≡ (a = 2) & (b = 3) & (q = 10)
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LA CIRCONFERENZA RICHIESTA
* Γ ≡ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 10 = (√10)^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 4*x - 6*y + 3 = 0
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Retta p polare rispetto a Γ del polo D(- 2, 1)
* p ≡ - 2*x + 1*y - 4*(x - 2)/2 - 6*(y + 1)/2 + 3 = 0 ≡ y = - 2*(x - 1)
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Punti di tangenza
* p & Γ ≡ (y = - 2*(x - 1)) & ((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 10) ≡
≡ T1(- 1, 4) oppure T2(1, 0)
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LE RETTE TANGENTI RICHIESTE
* DT1: y = 3*x + 7
* DT2: y = (1 - x)/3
avendo pendenze antinverse sono ortogonali.
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Grafico d'insieme
http://www.wolframalpha.com/input?i=plot%5Bx%5E2-4*x-6*y%3D-y%5E2-3%2C%28-2*%28x-1%29-y%29*%28y-3*x-7%29*%28%281-x%29%2F3-y%29%3D0%5Dx%3D-3to6
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RIPASSI
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EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA
Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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PROBLEMA DELLE TANGENTI, RETTA POLARE, SDOPPIAMENTI
La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla conica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciàndone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
Se il punto P è interno alla conica Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se il punto P è sulla conica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se il punto P è esterno alla conica Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.



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SOS Matematica

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