Equazione della circonferenza

@giorgiaborrelli

Ciao di nuovo.

x^2 + y^2 + a·x + b·y = 0    (c=0: passa per l'origine)

Determino le coordinate del punto di tangenza:

{- 3·x + 2·y - 13 = 0

{x=-1

Quindi: - 3·(-1) + 2·y - 13 = 0----> 2·y - 10 = 0-----> y = 5-----> [-1, 5]

Adopero le formule di sdoppiamento sull'equazione della circonferenza di sopra.

- 1·x + 5·y + a·(x - 1)/2 + b·(y + 5)/2 = 0 sviluppo e ottengo:

x·(a - 2)/2 + y·(b + 10)/2 - (a - 5·b)/2 = 0

La confronto con l'equazione assegnata: - 3·x + 2·y - 13 = 0

Quindi deduco che:

{(a - 2)/2 = -3

{(b + 10)/2 = 2

{- (a - 5·b)/2 = -13

Dalle prime due: a = -4 e  b = -6

Verifico i risultati con l'ultima: - (-4 - 5·(-6))/2 = -13-----> -13 = -13 OK!

Circonferenza: x^2 + y^2 - 4·x - 6·y = 0 con centro C(2,3) e raggio

r = √(2^2 + 3^2)  = √13

(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13 (equazione cartesiana)

Le coordinate dei punti A e B:

{x^2 + y^2 - 4·x - 6·y = 0

{x = 0

A(0,6)    [x = 0 ∧ y = 0, x = 0 ∧ y = 6]

{x^2 + y^2 - 4·x - 6·y = 0

{y = 0

B(4,0)      [x = 0 ∧ y = 0, x = 4 ∧ y = 0]

L'area del triangolo rettangolo ABO=12 (facilmente verificabile)

Quindi per completare deve essere area APB=5

Chiamo g ed h i lati incogniti di tale triangolo rettangolo.

{g^2 + h^2 = (2·√13)^2

{1/2·g·h = 5

Quindi:

{g^2 + h^2 = 52

{g·h = 10

Risolvo ed ottengo: 

[g = √2 ∧ h = 5·√2, g = - √2 ∧ h = - 5·√2, g = 5·√2 ∧ h = √2, g = - 5·√2 ∧ h = - √2]

Considero solo le due possibilità:

g = √2 ∧ h = 5·√2    ed  g = 5·√2 ∧ h = √2

Metto a sistema due circonferenze:

{x^2 + y^2 - 4·x - 6·y = 0

{√((x - 4)^2 + y^2) = √2

ottengo: [x = 5 ∧ y = 1, x = 35/13 ∧ y = - 7/13]

altra possibilità

{x^2 + y^2 - 4·x - 6·y = 0

{√((x - 4)^2 + y^2) = 5·√2

ottengo:

[x = -1 ∧ y = 5, x = 17/13 ∧ y = 85/13]

I risultati sono messi in grassetto!

@GiorgiaBorrelli

La data tangente
* t ≡ - 3*x + 2*y - 13 = 0 ≡ y = (3*x + 13)/2
ha pendenza m = 3/2 e, all'ascissa - 1, ha ordinata 5; perciò nel punto di tangenza T(- 1, 5) il raggio (e quindi il centro C) giace sulla perpendicolare di pendenza antinversa m' = - 1/m = - 2/3
* p ≡ y = (13 - 2*x)/3
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Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ(a, b, q) ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Per ottenere la particolare circonferenza γ richiesta si devono tradurre le specificazioni in vincoli sui parametri.
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1) centro C su retta p ≡ b = (13 - 2*a)/3
* Γ(a, q) ≡ (x - a)^2 + (y - (13 - 2*a)/3)^2 = q = r^2
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2) origine O su γ ≡ (13 - 2*a)/3 = 0 ≡ a = 13/2
* Γ(q) ≡ (x - 13/2)^2 + y^2 = q = r^2
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3) punto di tangenza T(- 1, 5) su γ ≡ (- 1 - 13/2)^2 + 5^2 = q ≡ q = 325/4
* γ ≡ (x - 13/2)^2 + y^2 = 325/4 = ((5/2)*√13)^2
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4) VERIFICA
Per la tangenza il sistema "t & γ" deve avere una soluzione reale doppia.
* t & γ ≡ (y = (3*x + 13)/2) & ((x - 13/2)^2 + y^2 = 325/4) ≡
≡ T(- 1, 5) doppio
Vedi il grafico e il paragrafo "Solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%283*x%2B13%29%2F2%2C%28x-13%2F2%29%5E2%2By%5E2%3D325%2F4%5D

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AGGIUNTA
Non ho proseguito perché la seconda richiesta è DEMENZIALE: c'è un'infinità di semicirconferenze che non contengono l'origine.