Circonferenza

I cinque passi suggeriti NON SI DEVONO SEGUIRE, almeno non i primi due: comporterebbero uno spreco di calcoli e quindi di tempo aumentando la probabilità di commettere errori.
Lo svolgimento di qualsiasi esercizio, e quindi anche di questo, si deve condurre per la via più semplice consentita dallo sfruttamento di tutte le informazioni fornite dall'autore, sia quelle dichiarate che quelle implicite.
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In questo caso c'è una importante informazione implicita: «... un punto C sulla semicirconferenza che si trova sopra all'asse x ...» significa che l'asse x è retta diametrale e che quindi la circonferenza ha centro K(a, 0); questo però, dovendo anche essere sulla retta 2*x - 3*y = 0 (retta per l'origine: y = (2/3)*x) non può che essere l'origine
* K ≡ O(0, 0)
Il raggio R della circonferenza è la comune distanza da O dei punti assegnati
* A(3, - 4), B(- 4, - 3)
che vale cinque, come ipotenusa di due triangoli rettangoli della terna (3, 4, 5).
La circonferenza centrata in O(0, 0) e di raggio R = 5 è
* Γ ≡ x^2 + y^2 = 5^2
la cui semicirconferenza "sopra all'asse x" è
* (x^2 + y^2 = 5^2) & (y > 0) ≡
≡ (y = √(25 - x^2)) & (- 5 < x < 5)
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Con ciò il primo problema s'è risolto con il solo calcolo della semicirconferenza; per il resto è stato sufficiente leggere e dedurre (il centro), riconoscere (retta per l'origine, terna pitagorica), rammentare (forma dell'equazione di Γ).
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Il secondo problema posto dall'esercizio è di trovare il luogo dei baricentri G dei triangoli ABC, con C sulla semicirconferenza
* C(k, √(25 - k^2)), con (- 5 < k < 5)
da cui
* G(x, y) = ((3 - 4 + k)/3, (- 4 - 3 + √(25 - k^2))/3) =
= ((k - 1)/3, (√(25 - k^2) - 7)/3)
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Pertanto il luogo richiesto è definito dal sistema
* (x = (k - 1)/3) & (y = (√(25 - k^2) - 7)/3) & (- 5 < k < 5) ≡
≡ (k = 3*x + 1) & (y = (√(25 - (3*x + 1)^2) - 7)/3) & (- 5 < 3*x + 1 < 5) ≡
≡ (k = 3*x + 1) & (3*y + 7 = √(25 - (3*x + 1)^2)) & (- 2 < x < 4/3) ≡
≡ (k = 3*x + 1) & ((3*y + 7)^2 - (25 - (3*x + 1)^2) = 0) & (- 2 < x < 4/3) ≡
≡ (k = 3*x + 1) & (x^2 + (2/3)*x + y^2 + (14/3)*y + 25/9 = 0) & (- 2 < x < 4/3) ≡
≡ (k = 3*x + 1) & ((x + 1/3)^2 - 1/9 + (y + 7/3)^2 - 49/9 + 25/9 = 0) & (- 2 < x < 4/3) ≡
≡ (k = 3*x + 1) & ((x + 1/3)^2 + (y + 7/3)^2 = (5/3)^2) & (- 2 < x < 4/3)
ed è la circonferenza centrata in (- 1/3, - 7/3) con raggio r = 5/3.