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[Risolto] Equazione da ricondurre al primo grado.

  

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Ciao!

 

Ho questa equazione:

 

(x^4+3x^5-3x^2-11x-6)(4x^6-216x^3+2916)=0

Il primo fattore lo scompongo in (x+1)^2(x-2)(x+3)

Il secondo 4(x-3)^2(x^2+3x+9)^2

Quindi ottengo:

4(x-3)^2(x^2+3x+9)^2 (x+1)^2(x-2)(x+3)=0

La traccia dell'esercizio consiste nel risolvere l'equazione mediante legge di annullamento del prodotto.

Se non fosse per (x^2+3x+9)^2 sarebbe abbastanza semplice, ma siccome non ho ancora trattato le equazioni di secondo grado, come riconduco questa al primo grado dal momento che non mi sembra fattorizzabile?

 

 

 

Autore
2 Risposte
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RISOLVERE L'EQUAZIONE
* "(x^4+3x^5-3x^2-11x-6)(4x^6-216x^3+2916)=0"
MEDIANTE LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO vuol dire, come tu hai ben tentato di fare, scomporre i due polinomi di cui è dato il prodotto e unire i risultati degli annullamenti di ciascun fattore.
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Però almeno uno dei tuoi tentativi è stato un po' frettoloso.
Mentre è vero che
* 4x^6-216x^3+2916 = 4(x-3)^2(x^2+3x+9)^2
anche se, ai fini dell'esercizio, sarebbe più fruttuoso scrivere
* (4*x^6 - 216*x^3 + 2916) =
= 4*(x^6 - 54*x^3 + 729) =
= 4*((x^3)^2 - 2*27*x^3 + (27)^2) =
= 4*((x^3 - 27)^2)
E' DEL TUTTO SBALLATO scrivere "Il primo fattore lo scompongo in (x+1)^2(x-2)(x+3)" perché il primo fattore è il polinomio di grado cinque
* 3*x^5 + x^4 - 3*x^2 - 11*x - 6
ma la scomposizione
* (x + 3)*(x - 2)*(x + 1)^2 = x^4 + 3*x^3 - 3*x^2 - 11*x - 6
e solo di grado quattro e indica chiaramente un errore di dito nella trascrizione.
------------------------------
CORREGGENDO IL REFUSO SI OTTIENE
* "(x^4+3x^3-3x^2-11x-6)(4x^6-216x^3+2916)" ≡
≡ (4*x^6 - 216*x^3 + 2916)*(x^4 + 3*x^3 - 3*x^2 - 11*x - 6) =
= 4*(x^6 - 54*x^3 + 729)*(x + 3)*(x^3 - 3*x - 2) =
= 4*((x^3)^2 - 2*27*x^3 + (27)^2)*(x + 3)*(x + 1)*(x^2 - x - 2) =
= 4*((x^3 - 27)^2)*(x + 3)*(x + 1)*(x + 1)*(x - 2) =
= 4*(x^3 - 3^3)*(x^3 - 3^3)*(x + 3)*(x + 1)*(x + 1)*(x - 2) =
---------------
Su quest'ultima forma puoi applicare la legge di annullamento del prodotto distinguendo le radici reali in
* 2 radici semplici: (x = - 3) oppure (x = + 2);
* 2 radici doppie: (x = - 1) oppure (x = + 3);
per un totale di sei radici reali.
---------------
Le quattro radici mancanti per soddisfare al Teorema Fondamentale dell'Algebra sono evidentemente non reali in quanto, come tu hai correttamente osservato, provengono dall'annullamento del fattore di secondo grado della differenza di cubi
* (x^3 - 3^3)^2 = ((x - 3)*(x^2 + 3*x + 9))^2
che, in quanto somma di due quantità positive,
* x^2 + 3*x + 9 = (x + 3/2)^2 - (3/2)^2 + 9 = (x + 3/2)^2 + 27/4
non può avere zeri reali.

@exprof

La ringrazio per la sua risposta e confermo il refuso.

Mi permetta un'altra domanda.

Che significa che "le quattro radici....sono non reali"?

@Mercurio : SE NON DICI CHE CLASSE FREQUENTI IO POSSO SOLO DARTI UNA RISPOSTA GENERICA.
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Col Teorema Fondamentale dell'Algebra si dimostra che ogni polinomio p(x) di grado N in x ha esattamente N zeri {z} e si scompone in:
* un eventuale fattore di grado zero che è il coefficiente direttore;
* esattamente N fattori monici di grado uno della forma (x - z);
cioè
* p(x) = a*x^N + b*x^(N - 1) + ... + TN = a*(x - z1)*(x - z2)* ... *(x - zN)
dove gli {z} sono, in genere, numeri complessi.
---------------
Nel caso che i coefficienti di p(x) siano tutti numeri reali gli zeri complessi si presentano in coppie di coniugati e quindi si può ottenere una scomposizione tutta reale in fattori di forma (x - r) oppure (x^2 - s*x + p) con (r, s, p) reali.
Infatti il prodotto fra i binomi dei due zeri coniugati dà un trinomio reale.
---------------
* (x - z)*(x - z') =
= (x - (a + i*b))*(x - (a - i*b)) =
= x^2 - 2*a*x + a^2 + b^2
dove
* s = 2*a [somma degli zeri]
* p = a^2 + b^2 [prodotto degli zeri]




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(x^2+3x+9) non è un polinomio ulteriormente scomponibile, ma la tua scomposizione è errata, il secondo membro del prodotto una volta raccolto il 4, è un quadrato di binomio.

e1bfe0fa 0be9 4e7f a8a9 53a68c481128

Comunque o nel testo da te scritto c'è qualche errore, oppure anche la scomposizione di questo polinomio (x^4+3x^5-3x^2-11x-6) che hai fatto è errata.

 

Probabilmente (anzi sicuramente) anziché 3x^5 hai 3x^3. 

@anguus90

Infatti era 3 e non 5. Grazie per l'aiuto!



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