[Risolto] Equazione da ricondurre al primo grado.

RISOLVERE L'EQUAZIONE
* "(x^4+3x^5-3x^2-11x-6)(4x^6-216x^3+2916)=0"
MEDIANTE LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO vuol dire, come tu hai ben tentato di fare, scomporre i due polinomi di cui è dato il prodotto e unire i risultati degli annullamenti di ciascun fattore.
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Però almeno uno dei tuoi tentativi è stato un po' frettoloso.
Mentre è vero che
* 4x^6-216x^3+2916 = 4(x-3)^2(x^2+3x+9)^2
anche se, ai fini dell'esercizio, sarebbe più fruttuoso scrivere
* (4*x^6 - 216*x^3 + 2916) =
= 4*(x^6 - 54*x^3 + 729) =
= 4*((x^3)^2 - 2*27*x^3 + (27)^2) =
= 4*((x^3 - 27)^2)
E' DEL TUTTO SBALLATO scrivere "Il primo fattore lo scompongo in (x+1)^2(x-2)(x+3)" perché il primo fattore è il polinomio di grado cinque
* 3*x^5 + x^4 - 3*x^2 - 11*x - 6
ma la scomposizione
* (x + 3)*(x - 2)*(x + 1)^2 = x^4 + 3*x^3 - 3*x^2 - 11*x - 6
e solo di grado quattro e indica chiaramente un errore di dito nella trascrizione.
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CORREGGENDO IL REFUSO SI OTTIENE
* "(x^4+3x^3-3x^2-11x-6)(4x^6-216x^3+2916)" ≡
≡ (4*x^6 - 216*x^3 + 2916)*(x^4 + 3*x^3 - 3*x^2 - 11*x - 6) =
= 4*(x^6 - 54*x^3 + 729)*(x + 3)*(x^3 - 3*x - 2) =
= 4*((x^3)^2 - 2*27*x^3 + (27)^2)*(x + 3)*(x + 1)*(x^2 - x - 2) =
= 4*((x^3 - 27)^2)*(x + 3)*(x + 1)*(x + 1)*(x - 2) =
= 4*(x^3 - 3^3)*(x^3 - 3^3)*(x + 3)*(x + 1)*(x + 1)*(x - 2) =
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Su quest'ultima forma puoi applicare la legge di annullamento del prodotto distinguendo le radici reali in
* 2 radici semplici: (x = - 3) oppure (x = + 2);
* 2 radici doppie: (x = - 1) oppure (x = + 3);
per un totale di sei radici reali.
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Le quattro radici mancanti per soddisfare al Teorema Fondamentale dell'Algebra sono evidentemente non reali in quanto, come tu hai correttamente osservato, provengono dall'annullamento del fattore di secondo grado della differenza di cubi
* (x^3 - 3^3)^2 = ((x - 3)*(x^2 + 3*x + 9))^2
che, in quanto somma di due quantità positive,
* x^2 + 3*x + 9 = (x + 3/2)^2 - (3/2)^2 + 9 = (x + 3/2)^2 + 27/4
non può avere zeri reali.

(x^2+3x+9) non è un polinomio ulteriormente scomponibile, ma la tua scomposizione è errata, il secondo membro del prodotto una volta raccolto il 4, è un quadrato di binomio.

Comunque o nel testo da te scritto c'è qualche errore, oppure anche la scomposizione di questo polinomio (x^4+3x^5-3x^2-11x-6) che hai fatto è errata.