Enunciare e dimostrare il teorema sul limite del prodotto di una successione infinitesima e una limitata.

Question

cmc · Accepted Answer

Siano $ a_n, b_n due successioni tali che $ a_n è una successione limitata. Esiste quindi un k∈ℝ⁺ tale che |a_n| ≤ k , ∀n∈ℕ. $ b_n è una successione infinitesima. Ovvero $ ∀ frac {ε}{k} >0 ; ∃n^*∈ℝ ;| ; ∀n≥n^* ; quad |b_n|< frac {ε}{k} $ Si vuole dimostrare che la successione prodotto $ a_n . b_n è infinitesima. Dimostrazione. La tesi significa $ ∀ε >0, ; ∃ bar {n}∈ℝ ; | ; ∀n≥ bar {n} ; quad |a_n . b_n| < ε $ Infatti dall'ultima disequazione segue che $|a_n . b_n| < |a_n|.|b_n| < k . |b_n| < k . frac {ε}{k} < ε $ quest'ultima disequazione è verificata $∀n≥n^*$. La tesi è così verificata nota. $ bar {n} = n^*$

[Risolto] Enunciare e dimostrare il teorema sul limite del prodotto di una successione infinitesima e una limitata.

Domande