Ellissi

Ci sono diverse alternative risolutive.

Ad esempio:

1) determini T ponendo x=-2 nella retta data

2) espliciti la retta data in y ed individui m il coefficiente angolare

3) scrivi la retta per T perpendicolare a quella data

4) metti a sistema la retta ottenuta al punto 3) con quella che ti dice il testo e su cui si trova C

5) scrivi l'equazione cartesiana della retta trovando r=CP

6) determini l'equazione dell'ellisse x^2/a^2+y^2/b^2=1  in cui sai quanto c'è in figura

Scrivendo "il ragionamento e la procedure da fare" stai cadendo in una tipica illusione da principiante: avere la speranza che ci sia UN modo più o meno codificato per affrontare i problemi. Grazie al cielo, non è così!
NON ESISTE UN "da fare": CIASCUN RISOLUTORE "fa" A MODO SUO.
Perciò nessuno può dirti "come capire", ciascuno di noi ti può solo mostrare il proprio ragionamento.
Io ti esibisco le mie associazioni mentali, tu devi recepire non la forma, ma solo le idee e riorganizzartele in memoria non secondo le mie, ma secondo le tue associazioni mentali.
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Parte irrinunciabile della MIA procedura risolutiva è riorganizzare la presentazione in modo che, riguardandola durante la risoluzione io possa vedere le informazioni a modo mio e non a modo dell'autore.
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Si chiedono
1) Una circonferenza Γ1
* centrata sulla retta y = x + 3, cioè di centro C(k, k + 3);
* tangente la retta t ≡ 2*x - 3*y + 22 = 0 ≡ y = (2/3)*(x + 11)
* nel punto di tangenza T(- 2, (2/3)*(- 2 + 11)) = (- 2, 6).
2) Le intersezioni F1 ed F2 di Γ1 con l'asse x.
3) L'ellisse Γ2 di fuochi F che passa per C.
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L'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ(a, b, q) ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ha i parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
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Se il centro dev'essere C(k, k + 3) allora
* Γ(k, q) ≡ (x - k)^2 + (y - (k + 3))^2 = q = r^2
ha un parametro in meno.
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Se deve passare per T(- 2, 6) allora dal vincolo d'appartenenza
* (- 2 - k)^2 + (6 - (k + 3))^2 = q ≡ q = 2*k^2 - 2*k + 13
si ottiene
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (k + 3))^2 = 2*k^2 - 2*k + 13 ≡
≡ x^2 + y^2 - 2*k*x - 2*(k + 3)*y + 4*(2*k - 1) = 0
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Se Γ(k) dev'essere tangente in T la retta
t ≡ y = (2/3)*(x + 11)
di pendenza 2/3 allora anche Γ(k) deve avere pendenza
* dy/dx = (x - k)/(3 + k - y)
che in T(- 2, 6) valga 2/3; cioè
* (- 2 - k)/(3 + k - 6) = 2/3 ≡ k/(k - 3) = 0 ≡ k = 0
da cui infine
* C(0, 3)
* Γ1 ≡ Γ(0) ≡ x^2 + (y - 3)^2 = 13
che ha gli zeri
* (y = 0) & (x^2 + (y - 3)^2 = 13) ≡ F1(- 2, 0) oppure F2(2, 0)
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L'equazione delle ellissi confocali in F1(- 2, 0) ed F2(2, 0) si ricava considerando che
* l'asse maggiore è sulla linea dei fuochi y = 0 (l'asse x)
* il centro è il punto medio dei fuochi O(0, 0)
* quindi l'asse minore è sull'asse y
* quindi l'equazione ha la forma
** Γ(a, b) ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1, dove "a > b > 0" sono i semiassi
* la semidistanza focale |F1F2|/2 = c = √(a^2 - b^2) = 2.
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La condizione di passaggio per C(0, 3) impone il vincolo
* (0/a)^2 + (3/b)^2 = 1 ≡ b = ± 3
Dal sistema
* (b = ± 3) & (√(a^2 - 9) = 2) & (a > 0) & (b > 0)
si ha
* (a = √13) & (b = 3)
da cui infine
* Γ2 ≡ (x/√13)^2 + (y/3)^2 = 1