Ellisse tangente a retta

Il tuo ragionamento è corretto. Probabilmente hai fatto qualche errore di calcolo

Giorno festivo, figurati!
Il passatempo dei tuoi problemini è sempre gradito e te ne ringrazio.
Essendo abbastanza avanti sulla via del rimbambimento io temo assai gli errori stupidi (scrittura e/o calcolo) che commetto a mia insaputa: mi scappano!
Così, per ridurne la probabilità, inizio sempre con un massaggino estetico alle formule e me le riscrivo secondo le associazioni mentali mie quasi sempre diverse da quelle dell'autore.
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Per la retta mi basta scrivere
* "y = -2x +4" ≡ t ≡ y = 4 - 2*x
ma per il fascio d'ellissi mi sorge il dubbio che ti siano rimaste nella tastiera le DOVUTE parentesi.
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Leggendo alla lettera ciò che hai scritto mi trovo con
* "x^2/ k + 6 + y^2/1 - k = 1" ≡
≡ Γ ≡ x^2/k + y^2/1 = 1 - (6 - k) = k - 5 ≡
≡ x^2/(k^2 - 5*k) + y^2/(k - 5) = 1
che è un'ellisse se e solo se
* (k^2 - 5*k > 0) & (k - 5 > 0) ≡ k > 5
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Il sistema
* (y = 4 - 2*x) & (x^2/(k^2 - 5*k) + y^2/(k - 5) = 1) & (k > 5) ≡
≡ espressioni troppo terrificanti per trattarsi di un esercizio scolastico.
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Assume valore la mia arbitraria ipotesi sulla tua antipatia per le parentesi.
* "x^2/ k + 6 + y^2/1 - k = 1" ≡
≡ Γ ≡ x^2/(k + 6) + y^2/(1 - k) = 1
che è un'ellisse se e solo se
* (k + 6 > 0) & (1 - k > 0) ≡ - 6 < k < 1
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Il sistema
* (y = 4 - 2*x) & (x^2/(k + 6) + y^2/(1 - k) = 1) & (- 6 < k < 1)
ha risolvente
* x^2/(k + 6) + (4 - 2*x)^2/(1 - k) - 1 = 0 ≡
≡ (3*k + 25)*x^2 - 16*(k + 6)*x + (k + 15)*(k + 6) = 0
con discriminante
* Δ(k) = - 12*(k + 6)*(k + 3)*(k - 1)
che, per la tangenza, dev'essere zero.
infine da
* ((k + 6)*(k + 3)*(k - 1) = 0) & (- 6 < k < 1) ≡ k = - 3
si ottiene il risultato atteso e
LA MIA ARBITRARIA IPOTESI NE ESCE CONFERMATA!
Aveva ragione Andreotti che a pensar male si fa peccato, ma spesso ci s'azzecca.