Determina l'area della regione di piano colorata in figura, che è delimitata dall'ellisse di equazione $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ e dalla parabola con asse verticale avente vertice in $V$ e passante per i due vertici $A$ e $B$ dell'ellisse.
Determina l'area della regione di piano colorata in figura, che è delimitata dall'ellisse di equazione $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ e dalla parabola con asse verticale avente vertice in $V$ e passante per i due vertici $A$ e $B$ dell'ellisse.
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Livello 2
Senza integrali ovviamente...
x^2/16 + y^2/9 = 1
a^2 =16----> a=4
b^2=9----> b=3
Area semiellisse= pi·4·3/2 = 6·pi
Area segmento parabolico= 2/3·8·3 = 16
(l'equazione a questo punto non ci interessa, comunque è: y = 3 - 3·x^2/16 )
Per differenza ottengo l'area richiesta: 6·pi - 16
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Genius III
Senza integrali!
Bene, non bisogna scomodare l'artiglieria per colpire le zanzare.
Ma, le formule delle aree dell'ellisse e del segmento parabolico furono dimostrate da Archimede utilizzando il metodo di esaustione. Formalmente non è l'integrale di Riemann ma poco ci manca.
Così l'integrale cacciato fuori dalla porta è rientrato dalla finestra, o no?
propongo risoluzione mediante il teorema di archimede
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Livello 1
Metà ellisse (π*a*b/2 = π*4*3/2 = 6*π) meno il segmento parabolico delimitato dalla corda AB: 6*π - S.
Per valutare S occorre l'apertura della parabola di vertice V(0, 3) per A(- 4, 0) e B(4, 0) cioè
* y = 3 - (3/16)*x^2
e quindi
* S = (3/16)*(xB - xA)^3/6 = 16
da cui l'area richiesta
* 6*π - 16
che è proprio il risultato atteso.
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Genius I