[Risolto] Ellisse

Anche noi: non tutti abbiamo la possibilità di vedere di traverso...

x^2 + 2·y^2 = 2------> x^2/2 + y^2 = 1 : a^2 = 2 ; b^2 = 1

a^2 > b^2 quindi fuochi su asse delle x

c^2 = a^2 - b^2-----> c^2 = 1

Risolvo l'equazione dell'ellisse rispetto ad y:

y = - √(4 - 2·x^2)/2 ∨ y = √(4 - 2·x^2)/2

Scelgo un punto dell'ellisse appartenente alla seconda funzione in grassetto:

[x, √(4 - 2·x^2)/2]

e considero i due fuochi:

[-1, 0]

[1, 0]

Quindi devo scrivere.

PF1^2=(x + 1)^2 + (√(4 - 2·x^2)/2)^2 = (x^2 + 4·x + 4)/2

PF2^2=(x - 1)^2 + (√(4 - 2·x^2)/2)^2 = (x^2 - 4·x + 4)/2

Quindi:

(x^2 + 4·x + 4)/2 + (x^2 - 4·x + 4)/2 = 5

x^2 + 4 = 5

x = -1 ∨ x = 1

Per x = -1:

[-1, √(4 - 2·(-1)^2)/2] = [-1, √2/2]

Per  x = 1:

[1, √(4 - 2·1^2)/2] = [1, √2/2]

Analogamente gli altri due (l'ellisse è doppiamente simmetrica rispetto agli assi:

[-1, -√2/2] e [1, -√2/2]

Grazie @LucianoP che ha avuto la pazienza di arrabattarsi per fare ciò che sarebbe toccato a te non ti rivolgo la risposta precompilata per le domande formulate come questa tua, ma che comunque qui ti riporto a futura memoria.
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Le mie vertebre cervicali hanno più di 83 anni e sono un po' rigide; il mio browser apre le immagini, ma non le ruota: non posso leggere il tuo allegato messo di traverso.
Quindi non posso risponderti, ma nemmeno lo farei: sarebbe uno spreco!
Una persona che è incapace di allegare una foto leggibile (cosa FACILE) di certo non può capire il mio svolgimento dell'esercizio (cosa DIFFICILE per lei, altrimenti mica l'avrebbe richiesto!) perciò scriverlo sarebbe del tutto inutile.
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Invece questa volta, riuscendo a leggere, mi permetto di sprecare una risposta.
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L'equazione
* Γ ≡ x^2 + 2*y^2 = 2 ≡
≡ x^2/2 + y^2 = 1 ≡
≡ ((x - 0)/√2)^2 + ((y - 0)/1)^2 = 1
ridotta a forma normale standard mostra un'ellisse centrata nell'origine, con assi di simmetria su quelli coordinati, di semiassi (a, b) = (√2, 1) e quindi fuochi sull'asse x.
La semidistanza focale
* c = √(a^2 - b^2) = √(2 - 1) = 1
dà i fuochi
* F1(- 1, 0), F2(1, 0)
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Il generico punto P(x, y) (generico del piano, non di Γ) ha dai fuochi distanze che, al quadrato, valgono
* |PF1|^2 = (x + 1)^2 + y^2
* |PF2|^2 = (x - 1)^2 + y^2
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La condizione richiesta
* |PF1|^2 + |PF2|^2 = 5 ≡
≡ (x + 1)^2 + y^2 + (x - 1)^2 + y^2 = 5 ≡
≡ x^2 + y^2 = 3/2
definisce una circonferenza concentrica all'ellisse e di raggio r = √(3/2) ~= 1.2 intermedio fra i suoi semiassi.
Quindi le due coniche devono avere quattro punti comuni tutti reali e posti in simmetria quadrantale nel riferimento Oxy, come soluzione del loro sistema
* (x^2 + y^2 = 3/2) & (x^2/2 + y^2 = 1) ≡
≡ (y^2 = 3/2 - x^2) & (x^2/2 + y^2 = 1)
di risolvente
* x^2/2 + 3/2 - x^2 - 1 = 0 ≡
≡ (1 - x^2)/2 = 0 ≡
≡ x = ± 1
da cui
* x^2 = 1
* y^2 = 3/2 - x^2 = 3/2 - 1 = 1/2 ≡
≡ y = ± 1/√2
Pertanto i quattro punti che soddisfanno alla condizione richiesta sono
* P(± 1, ± 1/√2)