[Risolto] Ellisse

@franci_cap

In alternativa al metodo proposto da @exprof, ti propongo di sfruttare la doppia simmetria dell'ellisse rispetto agli assi cartesiani e di trovare la soluzione attraverso la semiellisse positiva. Mi spiego meglio.

Prendi l'equazione: x^2/4 + y^2 = 1, la risolvi rispetto ad y:

y = - √(4 - x^2)/2 ∨ y = √(4 - x^2)/2

Considera la funzione in grassetto. Calcola la distanza dall'origine degli assi cartesiani di un suo generico punto. Imponi che il quadrato di tale distanza valga:

x^2 + (√(4 - x^2)/2)^2 = (√10/2)^2 (Teorema di Pitagora)

Quindi:

x^2 + (4 - x^2)/4 = 5/2----> 3·x^2 + 4 = 10----> 3·x^2 = 6

quindi: x = - √2 ∨ x = √2

Per x = √2 od anche per x = - √2 ottieni lo stesso valore di y:

y = √(4 - √2^2)/2-------> y = √2/2

quindi ottieni 2 punti su questa semiellisse. Simmetricamente ne ottieni due altri sulla semiellisse negativa.

In definitiva hai 4 punti della figura seguente:

L'ellisse
* x^2/4 + y^2 = 1 ≡ (x/2)^2 + (y/1)^2 = 1
è centrata nell'origine con semiassi (a, b) = (2, 1) e pertanto ha corde lunghe L
* 2 <= L <= 4
con semicorda
* 1 <= L/2 <= 2
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Fra le rette
* r(m) ≡ y = m*x
per l'origine quelle che staccano una corda lunga
* L = √10 ~= 3.16 (2 <= √10 <= 4)
sono quelle congiungenti estremi che ne distino L/2 = √(5/2), intersezioni dell'ellisse con la circonferenza
* x^2 + y^2 = 5/2
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* (x^2/4 + y^2 = 1) & (x^2 + y^2 = 5/2) ≡
≡ (± √2, ± 1/√2) ≡
≡ (- √2, - 1/√2), (+ √2, - 1/√2), (+ √2, + 1/√2), (- √2, + 1/√2)
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Vero che le congiungenti te le scrivi da te?