[Risolto] Ellisse

RIPASSI
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1) Ogni equazione razionale intera in due variabili (x, y) che sia riducibile alla forma normale canonica con coefficienti (A .. F) reali
* A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + D*x + E*y + F = 0
rappresenta una sezione conica; a centro o no; degenere o no; reale o no.
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2) Il vincolo che l'equazione di una conica rappresenti un'ellisse si esprime in funzione dei coefficienti.
Si calcolano gl'invarianti
* I1 = A + C
* I2 = A*C - B^2/4
* I3 = (4*A*C*F - A*E^2 - F*B^2 + B*D*E - C*D^2)/4
e s'impongono le condizioni
* (I3 != 0): conica non degenere
* (I3 != 0) & (I2 > 0): conica non degenere, ellisse (reale o immaginaria)
* (I3 != 0) & (I2 > 0) & (I1*I3 < 0): conica non degenere, ellisse reale
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3) Se, con opportune trasformazioni del piano Oxy, l'equazione è ulteriormente riducibile alla forma normale standard
* (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
allora si tratta di conica a centro non degenere.
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3a) (x/a)^2 - (y/b)^2 = - 1: iperbole coi fuochi sull'asse y
3b) (x/a)^2 - (y/b)^2 = + 1: iperbole coi fuochi sull'asse x
3c) (x/a)^2 + (y/b)^2 = - 1: ellisse immaginaria
3d) (x/a)^2 + (y/b)^2 = + 1: ellisse reale
3d1) se a < b, coi fuochi sull'asse y
3d2) se a = b, circonferenza coi fuochi sul centro
3d3) se a > b, coi fuochi sull'asse x
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ESERCIZIO DI RICONOSCIMENTO
Dalla forma normale standard (FNS), usata per classificare secondo i tipi esposti nel Ripasso #3, si passa alla forma normale canonica (FNC) richiesta con semplici passaggi:
* sottrarre membro a membro il secondo membro;
* sviluppare, commutare, ridurre.
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A) y^2 + 4*x^2 = 16 ≡
≡ y^2/16 + 4*x^2/16 = 1 ≡
≡ (x/2)^2 + (y/4)^2 = 1 ≡ 3d1
FNC: 4*x^2 + y^2 - 16 = 0
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B) 2*x^2 - 5*y = 1 ≡
≡ y = (2/5)*x^2 - 1/5 ≡ parabola, non conica a centro.