[Risolto] Ellisse

• Equazione delle generiche rette parallele all'asse x.

y=k con k numero reale

 

• Punti di intersezione rette/ellisse

Tali punti si ottengono risolvendo il sistema rette/ellisse

{y=k

{x²/2+y²/12=1

Per sostituzione.

k²/2+y²/12=1 ricaviamo le due y

y = ±√(12-6k²)

Vista la simmetria rispetto all'asse maggiore dell'ellisse i punti di intersezione sono

A = (k,+√(12-6k²)

B = (k,-√(12-6k²)

NB. Considerata la simmetria ci aspettiamo altri due punti C e D nel semipiano x<0. vedi grafico.

 

• Distanza della corda AB (NB. la distanza della corda CD è del tutto congrua)

dAB = yA-yB = 2*√(12-6k²)

Imponiamo che tale distanza sia pari a √2

√2 = 2*√(12-6k²)

dalla quale ricaviamo

k =  ±√(23/3) /2

Verifica.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%2F2+%2B+y%5E2%2F12+%3D+1+%2C+x%3DSqrt%2823%2F3%29+%2F2

dalla quale si evince che dAB = 2*(1/√2) = √2 OK.

 

 

@vio-r

Ciao. Metto a sistema:

{x^2/2 + y^2/12 = 1

{y=k

procedo con il metodo della sostituzione:

x^2/2 + k^2/12 = 1

6·x^2 + k^2 = 12

Risolvo: x = - √6·√(12 - k^2)/6 ∨ x = √6·√(12 - k^2)/6

Sfrutto la simmetria dell'ellisse rispetto agli assi ed impongo:

2·√6·√(12 - k^2)/6 = √6·√(12 - k^2)/3----->√6·√(12 - k^2)/3 = √2

elevo al quadrato:2·(12 - k^2)/3 = 2--->k = -3 ∨ k = 3

quindi equazioni: y = -3  ed y = 3

rette //asse x che staccano sulla ellisse corde pari a √2

LA STITICHEZZA PARENTETICA E OPERATORIA GENERA ESPRESSIONI EQUIVOCHE.
E' UN VERO PECCATO CHE AL LICEO NON S'INSEGNINO PIU'
* L'USO CORRETTO DELLE PARENTESI (d'ogni tipo: [], {}, <>, ||)
* LA CORRETTA SINTASSI DELLE ESPRESSIONI
Se l'equazione è qualla con il carattere "^ càret" al posto di " ' àpice" e la misura richiesta è "√2" allora prosegui a leggere, se no lascia perdere.
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L'equazione
* "x'2/2 + y'2/12 = 1" ≡ (x/√2)^2 + (y/(2*√3))^2 = 1
rappresenta un'ellisse riferita ai proprii assi con semiassi
* (a, b) = (√2, 2*√3)
e quindi fuochi sull'asse y.
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Nella generica ellisse
* (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
le intersezioni con la generica parallela all'asse x
* y = h
sono
* P(- (a/b)*√(b^2 - h^2), h), Q(+ (a/b)*√(b^2 - h^2), h)
e sono estremi di una corda lunga quanto la loro distanza
* d(h) = 2*(a/b)*√(b^2 - h^2)
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La corda pari al semiasse parallelo si ha per
* d(h) = 2*(a/b)*√(b^2 - h^2) = a ≡ h = ± (√3/2)*b
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Con
* (a, b) = (√2, 2*√3)
si ha
* h = ± (√3/2)*2*√3 = ± 3
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%5E2%3D9%2C%28x%2F%E2%88%9A2%29%5E2%3D1-%28y%2F%282*%E2%88%9A3%29%29%5E2%5D