[Risolto] Trova per quali valori di k

PREMESSE
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1) UN'ELLISSE DEGENERE NON PUO' ESISTERE.
Una conica è degenere se e solo se il polinomio a primo membro della sua forma normale canonica (p(x, y) = 0) è scomponibile in fattori reali, cioè se e solo se quell'equazione non può rappresentare un'ellisse.
Un'ellisse vuota o è una circonferenza collassata sul suo centro, rappresentata eguagliando a zero una somma di termini positivi e quindi con l'unico punto reale che è l'intersezione di due rette complesse oppure è priva di punti reali se quella somma è eguagliata a un valore negativo.
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2) L'assenza del termine rettangolare nell'equazione data indica che la conica rappresentata ha assi di simmetria paralleli agli assi coordinati.
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3) La presenza di entrambi i termini quadrati indica che la conica rappresentata non può essere una parabola.
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RISOLUZIONE
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Dalla forma normale canonica data ricavarne una su cui classificare la conica.
* "x²+4y²-6x+2y+k=0" ≡
≡ x^2 - 6*x + 4*(y^2 + y/2) + k = 0 ≡
≡ (x - 3)^2 - 3^2 + 4*((y + 1/4)^2 - (1/4)^2) + k = 0 ≡
≡ (x - 3)^2 + 4*(y + 1/4)^2 = 37/4 - k
Questa forma rappresenta un'ellisse ordinaria se e solo se il secondo membro è positivo, cioè per
* k < 37/4

L'equazione mx²+ny²+px+qy+r+sxy = 0

rappresenta un'ellisse non degenere se verifica le 3 seguenti condizioni:

i) m*n>0

ii) s = 0

iii) p²/(4m) +q²/(4n)-r > 0

Nel nostro caso x²+4y²-6x+2y+k=0

i) 1*4 > 0 OK

ii) s = 0 OK manca il termine x*y

iii) 36/4+4/(4*4)-k > 0 per cui (36+1)/4 > k

k < 37/4