Data l’ellisse di equazione x^2/a^2 +y^2/b^2 =1, con a>b, determina quale relazione deve sussistere tra a^2 e b^2 affinché il triangolo avente per vertici i due fuochi dell’ellisse e uno dei due vertici dell’ellisse sull’asse y sia equilatero.
Data l’ellisse di equazione x^2/a^2 +y^2/b^2 =1, con a>b, determina quale relazione deve sussistere tra a^2 e b^2 affinché il triangolo avente per vertici i due fuochi dell’ellisse e uno dei due vertici dell’ellisse sull’asse y sia equilatero.
50
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Livello 1
il vertice sull'asse delle y positive ha coordinate $V(0,b)$, i fuochi sull'asse delle x hanno coordinate
$F_1(-c,0)$ e $F_2(c,0)$, con $c=\sqrt{a^2-b^2}$
la distanza $F_1 F_2$ vale chiaramente $F_1 F_2=2c$
la distanza $F_2 V$ si trova con il teorema di Pitagora:
$F_2 V=\sqrt{c^2+b^2}=\sqrt{a^2-b^2+b^2}=\sqrt{a^2}$
Quindi affinchè il triangolo sia equilatero deve succedere che
$F_1 F_2=$F_1 F_2$ cioè che
$2c=\sqrt{a^2}$
Elevando al quadrato
$4c^2=a^2$ e sostituendo $c^2=a^2-b^2$
$4a^2-4b^2=a^2$ --> $3a^2=4b^2$ --> $a^2=\frac{4}{3}b^2$
17092
punti
Livello 9