a. Scrivi l'equazione della circonferenza che passa per $A(0 ;-1)$, ha il centro con ordinata positiva sulla retta di equazione $4 x-2 y+3=0$ e ha il raggio lungo $\frac{5}{2}$. b. Tra le rette del fascio per $A$ determina quelle che staccano sulla circonferenza una corda lunga $2 \sqrt{5}$. c. Dal punto $B\left(\frac{5}{2} ;-6\right)$ manda le tangenti alla circonferenza e trova i punti di tangenza $C$ e $D$. $$ \left[\text { a) } x^{2}+y^{2}-3 y-4=0 ; \text { b) } y=-2 x-1, y=2 x-1 ; \text { c) } C(-2 ; 0), D\left(\frac{5}{2} ; \frac{3}{2}\right)\right] $$
Vedi Giovanni, il campo "Titolo" ha un limite di 250 battute, il di più viene troncato e sostituito da puntini; invece il campo "Domanda" ha una capacità ben più ampia. Se tu cerchi di mettere l'intera domanda in "Titolo" e poi in "Domanda" ci metti solo la nota personale "Non ho capito questo problema ..." finisce che non lo fai capire nemmeno a noi che leggiamo. Sarebbe stato meglio presentarlo come segue. Titolo Problema sulla circonferenza Domanda Non ho capito questo problema sulla circonferenza. a) Scrivere l'equazione della circonferenza Γ che: * passa per A(0, - 1); * ha il centro C(xC, yC) sulla retta 4*x - 2*y + 3 = 0, con yC > 0; * ha il raggio lungo 5/2. b) Determinare, tra le rette del fascio centrato in A, quelle che staccano su Γ una corda di lunghezza 2*√5. c) Dal punto B(5/2, - 6) manda le tangenti a Γ e trova i punti di tangenza C e D. ============================== RISPOSTA NON HAI CAPITO PERCHE' NON C'E' NULLA DA CAPIRE: le tre consegne sono di una chiarezza cristallina. Però c'è parecchio da rammentare, ripassare e soprattutto calcolare: se non hai studiato più che bene tutto ciò che precede l'esercizio 408 ti trovi a mal partito. Ti mostro qualcosa, senza troppe spiegazioni perché se no si tratterebbe di riscrivere quello che non hai letto sul libro; qui lo leggeresti? ------------------------------ a) Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard * Γ(a, b, q) ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2 ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b). La condizione "ha il raggio lungo 5/2" dà il parametro q * Γ(a, b) ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = 25/4 La condizione "ha il centro C(xC, yC) sulla retta 4*x - 2*y + 3 = 0, con yC > 0" dà il parametro b, in quanto * 4*x - 2*y + 3 = 0 ≡ y = (4*x + 3)/2 → C(a, (4*a + 3)/2) * Γ(a) ≡ (x - a)^2 + (y - (4*a + 3)/2)^2 = 25/4 La condizione "passa per A(0, - 1)" dà il parametro a * (0 - a)^2 + (- 1 - (4*a + 3)/2)^2 = 25/4 ≡ ≡ (a = - 2) oppure (a = 0) * Γ(- 2) ≡ (x - (- 2))^2 + (y - (4*(- 2) + 3)/2)^2 = 25/4 ≡ ≡ (x + 2)^2 + (y + 5/2)^2 = 25/4 * Γ(0) ≡ (x - 0)^2 + (y - (4*0 + 3)/2)^2 = 25/4 ≡ ≡ x^2 + (y - 3/2)^2 = 25/4 La condizione "con yC > 0" disambigua * Γ ≡ x^2 + (y - 3/2)^2 = 25/4 ------------------------------ b) Per il punto A(0, - 1) passano tutte e sole le rette: * x = 0, l'asse y; * r(k) ≡ y = k*x - 1, per ogni pendenza k reale; che hanno punti comuni con Γ nelle soluzioni dei sistemi fra le loro equazioni. * (x = 0) & (x^2 + (y - 3/2)^2 = 25/4) ≡ ≡ A(0, - 1) oppure (0, 4) che, diametralmente opposti, distano 5 (!= 2*√5): non accettabile. * (y = k*x - 1) & (x^2 + (y - 3/2)^2 = 25/4) ≡ ≡ A(0, - 1) oppure (5*k/(k^2 + 1), (4*k^2 - 1)/(k^2 + 1)) che distano * d(k) = 5*√(k^2/(k^2 + 1)) La condizione "corda di lunghezza 2*√5" dà * d(k) = 5*√(k^2/(k^2 + 1)) = 2*√5 ≡ k = ± 2 da cui * r(- 2) ≡ y = - 2*x - 1 * r(+ 2) ≡ y = + 2*x - 1 ------------------------------ c) Dalla forma normale standard di Γ si ricava la forma normale canonica * Γ ≡ x^2 + (y - 3/2)^2 = 25/4 ≡ ≡ x^2 + y^2 - 3*y - 4 = 0 dalla quale si ricava, per sdoppiamento, la retta polare p del polo B(5/2, - 6) ≡ p ≡ (5/2)*x - 6*y - 3*(- 6 + y)/2 - 4 = 0 ≡ y = (x + 2)/3 Le soluzioni del sistema * p & Γ ≡ (y = (x + 2)/3) & (x^2 + (y - 3/2)^2 = 25/4) ≡ ≡ C(- 2, 0) oppure D(5/2, 3/2) sono i punti di tangenza e le tangenti richieste sono le congiungenti * BC ≡ y = - (4*x + 8)/3 * BD ≡ x = 5/2
