[Risolto] Scrivi l'equazione della circonferenza che passa

Vedi Giovanni, il campo "Titolo" ha un limite di 250 battute, il di più viene troncato e sostituito da puntini; invece il campo "Domanda" ha una capacità ben più ampia.
Se tu cerchi di mettere l'intera domanda in "Titolo" e poi in "Domanda" ci metti solo la nota personale "Non ho capito questo problema ..." finisce che non lo fai capire nemmeno a noi che leggiamo.
Sarebbe stato meglio presentarlo come segue.
Titolo
Problema sulla circonferenza
Domanda
Non ho capito questo problema sulla circonferenza.
a) Scrivere l'equazione della circonferenza Γ che:
* passa per A(0, - 1);
* ha il centro C(xC, yC) sulla retta 4*x - 2*y + 3 = 0, con yC > 0;
* ha il raggio lungo 5/2.
b) Determinare, tra le rette del fascio centrato in A, quelle che staccano su Γ una corda di lunghezza 2*√5.
c) Dal punto B(5/2, - 6) manda le tangenti a Γ e trova i punti di tangenza C e D.
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RISPOSTA
NON HAI CAPITO PERCHE' NON C'E' NULLA DA CAPIRE: le tre consegne sono di una chiarezza cristallina.
Però c'è parecchio da rammentare, ripassare e soprattutto calcolare: se non hai studiato più che bene tutto ciò che precede l'esercizio 408 ti trovi a mal partito.
Ti mostro qualcosa, senza troppe spiegazioni perché se no si tratterebbe di riscrivere quello che non hai letto sul libro; qui lo leggeresti?
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a) Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ(a, b, q) ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
La condizione "ha il raggio lungo 5/2" dà il parametro q
* Γ(a, b) ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = 25/4
La condizione "ha il centro C(xC, yC) sulla retta 4*x - 2*y + 3 = 0, con yC > 0" dà il parametro b, in quanto
* 4*x - 2*y + 3 = 0 ≡ y = (4*x + 3)/2 → C(a, (4*a + 3)/2)
* Γ(a) ≡ (x - a)^2 + (y - (4*a + 3)/2)^2 = 25/4
La condizione "passa per A(0, - 1)" dà il parametro a
* (0 - a)^2 + (- 1 - (4*a + 3)/2)^2 = 25/4 ≡
≡ (a = - 2) oppure (a = 0)
* Γ(- 2) ≡ (x - (- 2))^2 + (y - (4*(- 2) + 3)/2)^2 = 25/4 ≡
≡ (x + 2)^2 + (y + 5/2)^2 = 25/4
* Γ(0) ≡ (x - 0)^2 + (y - (4*0 + 3)/2)^2 = 25/4 ≡
≡ x^2 + (y - 3/2)^2 = 25/4
La condizione "con yC > 0" disambigua
* Γ ≡ x^2 + (y - 3/2)^2 = 25/4
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b) Per il punto A(0, - 1) passano tutte e sole le rette:
* x = 0, l'asse y;
* r(k) ≡ y = k*x - 1, per ogni pendenza k reale;
che hanno punti comuni con Γ nelle soluzioni dei sistemi fra le loro equazioni.
* (x = 0) & (x^2 + (y - 3/2)^2 = 25/4) ≡
≡ A(0, - 1) oppure (0, 4)
che, diametralmente opposti, distano 5 (!= 2*√5): non accettabile.
* (y = k*x - 1) & (x^2 + (y - 3/2)^2 = 25/4) ≡
≡ A(0, - 1) oppure (5*k/(k^2 + 1), (4*k^2 - 1)/(k^2 + 1))
che distano
* d(k) = 5*√(k^2/(k^2 + 1))
La condizione "corda di lunghezza 2*√5" dà
* d(k) = 5*√(k^2/(k^2 + 1)) = 2*√5 ≡ k = ± 2
da cui
* r(- 2) ≡ y = - 2*x - 1
* r(+ 2) ≡ y = + 2*x - 1
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c) Dalla forma normale standard di Γ si ricava la forma normale canonica
* Γ ≡ x^2 + (y - 3/2)^2 = 25/4 ≡
≡ x^2 + y^2 - 3*y - 4 = 0
dalla quale si ricava, per sdoppiamento, la retta polare p del polo B(5/2, - 6)
≡ p ≡ (5/2)*x - 6*y - 3*(- 6 + y)/2 - 4 = 0 ≡ y = (x + 2)/3
Le soluzioni del sistema
* p & Γ ≡ (y = (x + 2)/3) & (x^2 + (y - 3/2)^2 = 25/4) ≡
≡ C(- 2, 0) oppure D(5/2, 3/2)
sono i punti di tangenza e le tangenti richieste sono le congiungenti
* BC ≡ y = - (4*x + 8)/3
* BD ≡ x = 5/2