equazione fratta

@polline

Ciao, benvenuto/a

Stai risolvendo una equazione fratta. La primissima cosa che devi fare è quella di scrivere le condizioni di accettabilità anche dette C.E. ( di esistenza) escludendo tutti i valori di x che annullano i denominatori delle frazioni che compaiono nella equazione stessa.

Quindi determinare il mcm dei denominatori. Poi riportare l’equazione ad una razionale intera moltiplicando ogni singolo termine dell’equazione per il mcm calcolato (perché dici dividere?).

Ottieni quindi alla fine un’equazione che ha al Max un numero di soluzioni reali pari al grado dell’equazione così ottenuta.

A questo punto devi vedere se, nelle radici che ottieni così, non ci siano presenti quei valori di x non accettabili e che farebbero perdere di significato una o più frazioni algebriche presenti all’inizio. Se esistono questi valori devi scartarli!
Fare attenzione sempre che non violi i due principi di equivalenza delle equazioni. Soprattutto in merito al secondo.

In base a quanto hai scritto:

x·(1 + 6·x)/(3·x + 2) - 2·x - 1/(5·x - 1) = -1

C.E. (3·x + 2)·(5·x - 1) ≠ 0-------> x ≠ 1/5 ∧ x ≠ - 2/3

moltiplica

(6·x^2 + x)·(5·x - 1) - 2·x·(3·x + 2)·(5·x - 1) - (3·x + 2) =

=- (3·x + 2)·(5·x - 1)

poi

(30·x^3 - x^2 - x) - (30·x^3 + 14·x^2 - 4·x) - (3·x + 2) = - 15·x^2 - 7·x + 2

- 15·x^2 - 2 = - 15·x^2 - 7·x + 2

7·x = 4------> x = 4/7 ACCETTABILE perché compatibile con le C.E.

poni:

5x-1 = a

3x+2 = b

-2x+((-b+a*(x+6x^2)/a*b) = -1

si moltiplicano  tutti i termi per a*b

-2xab-b+a(x+6x^2) = -ab

sostituisci a con 5x-1 e b con 3x+2 e prosegui 

Dopo aver imposto le condizioni di esistenza

{ 5x - 1 =/= 0    => x =/= 1/5

{ 3x + 2 =/= 0   => x =/= -2/3

 

moltiplicando per il mcm dei denominatori  (3x + 2)(5x - 1)

si ottiene

(1 - 2x)(5x - 1)(3x + 2) - (3x + 2) = -x (5x - 1) (6x + 1)

che equivale a

(2x - 1) (15x^2 + 7x - 2) + 3x + 2 = x(30x^2 - x - 1)

Sviluppando, trasportando e riducendo trovi infine

30 x^3 + 14x^2 - 4x

           - 15 x^2 - 7x + 2

-30x^3  + x^2  + x                

                         + 3x + 2     = 0

--------------------------------------

                      - 7x + 4 = 0

 

7x = 4 => x = 4/7

 

accettabile perché diversa da -2/3 e 1/5.

Confermata da Wolfram equation solver.

 

A) Sottrarre membro a membro il secondo membro.
* 3 - 2*x - 1/(5*x - 1) = 2 - x*(1 + 6*x)/(3*x + 2) ≡
≡ 3 - 2*x - 1/(5*x - 1) - 2 + x*(1 + 6*x)/(3*x + 2) = 0
---------------
B) Addizionare i termini a primo membro.
* 3 - 2*x - 1/(5*x - 1) - 2 + x*(1 + 6*x)/(3*x + 2) = 0 ≡ (7*x - 4)/(15*x^2 + 7*x - 2) = 0
---------------
C) Dividere numeratore e denominatore per i loro coefficienti direttori.
* (7*x - 4)/(15*x^2 + 7*x - 2) = 0 ≡
≡ (7/15)*(x - 4/7)/(x^2 + (7/15)*x - 2/15) = 0 ≡
≡ (x - 4/7)/(x^2 + (7/15)*x - 2/15) = 0
---------------
D) Fattorizzare il denominatore.
* (x - 4/7)/(x^2 + (7/15)*x - 2/15) = 0 ≡ (x - 4/7)/((x + 2/3)*(x - 1/5)) = 0
---------------
E) Applicare la proprietà che ogni frazione è zero se e solo se lo è il numeratore, ma non il denominatore.
* (x - 4/7)/((x + 2/3)*(x - 1/5)) = 0 ≡
≡ (x = 4/7) & (x non in {- 2/3, 1/5}) ≡
≡ x = 4/7