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[Risolto] disequazione fratta

  

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Ciao a tutti, ho cominciato a studiare le disequazioni ed ancora devo conoscere le varie sfumature che quest'ultime celano.  😀 

Ho questa equazione: $\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x-3\:}\le \frac{x-5}{x^2-5x+6}$ , CE: $x\ne 2\:\wedge \:x\ne 3$

Svolgendo i calcoli si arriva a: $\frac{-2x+6}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\le 0$.

Prima idea:

Calcolo il segno di questa disequazione e come soluzione ottengo $2<x<3\:\vee \:x>3$

Seconda idea:

Continuo con i calcoli, raccolgo $-2$ dunque $\frac{-2\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\le 0\:$ e poi semplifico: $\frac{-2}{\left(x-2\right)}\le 0\:$.

Moltiplico e divido tutto per $-1$ e $2$ e giungo a: $\frac{1}{x-2}\ge 0$ la cui soluzione è $x>2\:\wedge \:x\ne 3$.

Ora, quello che mi chiedo, le due soluzioni sono equivalenti?

Scrivere $2<x<3\:\vee \:x>3$ è la stessa cosa di $x>2\:\wedge \:x\ne 3$ ? 

Ad esempio, se avessi solo la prima, potrei ricavare la seconda? E viceversa? 
Tutto si basa sul saper interpretare le scritture? (...sembra una cosa biblica 😆!)

Perdonate l'ignoranza ma non ho ancora molta familiarità con le disequazioni e non vorrei compiere errori, se avete qualche trick da pro da consigliarmi son tutto orecchie hehe 🧐 

 

Autore

ps: "soluzione finale" nel titolo non mi fa pensare a belle cose, prima e ultima volta che lo scrivo! 😆

(però ho fatto la rima!)

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2 Risposte
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RISPOSTA

Tutto giusto!

PERCHÉ...

Entrambi i procedimenti sono giusti e credo che il secondo sia migliore del primo, perché ti permette di fare lo studio dei segni molto più velocemente, in quanto il numeratore rimane $1$.

In ambedue i casi si arriva alla stessa identica soluzione, infatti $2<x<3\vee{x}>3$ è uguale a  $x>2\land{x}\not=3$

Prima soluzione trovata

82A71F26 1237 453D A4BF F14F5876BA7A

Seconda soluzione trovata

221B9226 D0B0 4E0D A640 C3EB0093672C

Ricorda che nella rappresentazione, se il pallino è vuoto allora vuol dire che il numero è escluso nell’intervallo.

Come puoi notare, alla fine la rappresentazione è la stessa in entrambi i casi.

 

@US Grazie! Ma nel grafico dei segni devo sempre mettere i valori delle CE lungo la retta?

Ad esempio, facendo il secondo grafico ho scritto semplicemente $2$ e basta lungo la retta. (è venuto un bellissimo grafico e molto sensato in effetti... 😆). Guardandolo ho scritto $x>2$ e poi controllando le CE ho aggiunto $\wedge \:x\ne 3$.

Forse aggiungendo il valore della CE nel grafico viene più chiaro il tutto e si rischia di meno 🤔 

 

Certo! Nel grafico dovresti sempre includere anche le condizioni di esistenza, così eviti di confonderti e di dimenticare le CE.

Poi sai anche che ognuno fa come vuole 😁, nel senso che puoi anche non metterle nel grafico e aggiungerle dopo. Ma quando ti troverai con intervalli di soluzioni un po’ più complicati, converrà sempre includere anche le C.E.

@US Tutto chiaro, grazie mille 😊

Prego! 😊

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Per evitare "le varie sfumature che quest'ultime celano" devi rendere "quest'ultime" prive di sfumature sottoponendole a procedure di calcolo pedisseque che riconducano la disequazione in esame a condizioni quanto più possibile standard.
Tre di tali condizioni, che si rivelano utili, sono d'avere
* operatori semplici
* zero come secondo membro
* espressioni fattorizzate a primo membro
------------------------------
* 1/(x - 2) - 2/(x - 3) <= (x - 5)/(x^2 - 5*x + 6) ≡
≡ (1/(x - 2) - 2/(x - 3) - (x - 5)/((x - 2)*(x - 3)) <= 0) & (x non in {2, 3}) ≡
≡ (2/(2 - x) <= 0) & (x non in {2, 3}) ≡
≡ (2/(2 - x) < 0) & (x non in {2, 3}) ≡
≡ (x > 2) & (x != 3)

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